¿Qué aplicaciones prácticas tiene la teoría de conjuntos?

Question

Soy un no-matemático. Estoy leyendo sobre la teoría de conjuntos. Es fascinante, pero me pregunto si ya ha encontrado alguna aplicación en el "mundo real". Por ejemplo, en el instituto, cuando aprendíamos las propiedades de i Muchos de los niños se preguntaban para qué se utilizaba. El profesor respondió que se utilizaba para describir las propiedades de la electricidad en los circuitos. Entonces, ¿existe una aplicación práctica similar de la teoría de conjuntos? ¿Algo que no podríamos hacer o construir sin la teoría de conjuntos?

---

Edit: En realidad, estoy preguntando sobre la practicidad del conocimiento de las propiedades de los conjuntos infinitos, y su cardinalidad. Estoy leyendo el libro de Peter Suber [A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets][1] ([Wayback Machine](https://web.archive.org/web/20110703003113/https://earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm)). Las propiedades de los conjuntos infinitos parecen poco intuitivas, pero por supuesto, las pruebas demuestran que son ciertas.

Mi opinión es que a quien se le ocurrió la raíz cuadrada de -1 lo hizo muchos años antes de que se "escapara" de las matemáticas y encontrara un uso práctico. Antes de eso, tal vez la gente pensaba que era inteligente, pero no necesariamente útil o incluso "verdadera". Así que, si necesitas entender la electricidad, y puedes hacerlo mejor utilizando i Entonces, incluso alguien que piensa que es una tontería tener una raíz cuadrada de -1 negativo tendría que admitir a regañadientes que hay algo de "realidad" en ella, a pesar de su falta de intuición, porque la electricidad se comporta como si "existiera".

Viendo que hubo tanta resistencia a los conjuntos infinitos al principio, incluso entre los matemáticos, me pregunto: ¿se ha "demostrado que las matemáticas de los conjuntos infinitos valen la pena" al tener una aplicación práctica fuera de las matemáticas, para que nadie pueda decir que son sólo unos juegos imaginativos?

Answer 1

Una bonita aplicación de los resultados de Cantor en la teoría de conjuntos es la existencia de números trascendentales. Dado que el conjunto de los números algebraicos es contable mientras que el continuo no lo es, deben existir incontables trascendentales, en particular hay al menos uno.

Aunque esta no fue la primera prueba de este resultado, fue una de las primeras y la más sencilla.

Answer 2

Aunque no estoy seguro de los usos directos de la teoría de conjuntos, teoría de conjuntos difusos se utiliza directamente en bastantes áreas (ingeniería, medicina, negocios, ciencias sociales) donde la información es incompleta. Véase, por ejemplo Teoría de los conjuntos difusos: Aplicaciones en las Ciencias Sociales o _Aplicaciones de la lógica difusa en la bioinformática_ .

Answer 3

Recientemente dio una charla sobre cómo los cardenales de rango y los cardenales alrededor del $n$ -enorme nivel podría utilizarse para construir nuevos criptosistemas de clave pública.

La idea básica es seleccionar alguna subálgebra finita $(X,*)$ del álgebra cociente de incrustaciones de rango a rango $\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma}$ . Desde $(X,*)$ es finita, el álgebra $(X,*)$ es siempre computable. Entonces se extrapola a partir de $\mathcal{E}_{\lambda}/\equiv^{\gamma}$ una operación ternaria autodistributiva $t^{\bullet}$ en el plató $X$ . La operación $t^{\bullet}$ suele ser de la forma $t^{\bullet}(x,y)=T(x,y)*z$ para alguna operación $T$ que satisface $x*T(y,z)=T(x*y,x*z)$ . Entonces, a partir del álgebra $(X,t^{\bullet})$ se extrapola un nuevo álgebra $(\Diamond(X,t^{\bullet}),t^{\sharp})$ ( $t^{\sharp}$ es ternario) que llamo tabla de Laver endomórfica funcional. Las tablas de Laver endomórficas funcionales pueden utilizarse como plataformas para varios criptosistemas de clave pública, como el intercambio de claves de Ko-Lee y el Intercambio de claves Kalka-Teicher .

Dado que estos criptosistemas son muy nuevos, nadie sabe nada sobre la seguridad de estos criptosistemas o incluso sobre la eficiencia de los mismos (teóricos del juego, pónganse a trabajar). Sin embargo, si estos criptosistemas son seguros contra la computación clásica, entonces es probable que estos criptosistemas sigan siendo seguros también contra los ataques de adversarios con ordenadores cuánticos (los algoritmos cuánticos utilizan actualmente muy pocas técnicas especializadas que no tienen nada que ver con los grandes cardinales). Dependiendo de cómo se cuente, hay unos cinco tipos diferentes de criptosistemas de clave pública que no se sabe que sean vulnerables a los ataques de los ordenadores cuánticos.

Answer 4

Sin conocer la teoría de conjuntos, hablar con un matemático será como hablar con un francés. Tú no hablas francés y él se niega a hablar inglés.

No, sólo bromeaba; los matemáticos son gente agradable. Te lo explicarán en inglés si no hablas teoría de conjuntos.

Answer 5

En cierto sentido, la teoría de conjuntos no es más que una formalización de lo que quizá sea la más fundamental de todas las actividades matemáticas: identificar que varios objetos del mundo comparten una propiedad en común y, por tanto, agruparlos.

Por ejemplo, se podría argumentar que no se pueden contar las manzanas hasta que se pueda reconocer si un objeto dado es o no una manzana, y esto es lo mismo que identificar una propiedad que caracteriza a las manzanas y luego encontrar un procedimiento para comprobar si un objeto arbitrario posee esta propiedad.

Generalizando un poco, no se pueden contar objetos de un determinado tipo sin agrupar primero los objetos que se desean contar en lo que intuitivamente es sólo un "conjunto".

De este modo, la teoría de conjuntos es la forma de pensamiento fundacional que subyace a toda la asignatura y, por lo tanto, un estudio riguroso de la teoría de conjuntos permite comprender más a fondo esencialmente toda la asignatura de matemáticas.

Además del interés intrínseco que la teoría de conjuntos puede presentar para los especialistas (es decir, los teóricos de conjuntos), ésta es su "aplicación" más destacada e importante.