¿Qué aplicaciones prácticas tiene la teoría de conjuntos?

Question

Soy un no-matemático. Estoy leyendo sobre la teoría de conjuntos. Es fascinante, pero me pregunto si ya ha encontrado alguna aplicación en el "mundo real". Por ejemplo, en el instituto, cuando aprendíamos las propiedades de i Muchos de los niños se preguntaban para qué se utilizaba. El profesor respondió que se utilizaba para describir las propiedades de la electricidad en los circuitos. Entonces, ¿existe una aplicación práctica similar de la teoría de conjuntos? ¿Algo que no podríamos hacer o construir sin la teoría de conjuntos?

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Edit: En realidad, estoy preguntando sobre la practicidad del conocimiento de las propiedades de los conjuntos infinitos, y su cardinalidad. Estoy leyendo el libro de Peter Suber [A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets][1] ([Wayback Machine](https://web.archive.org/web/20110703003113/https://earlham.edu/~peters/writing/infapp.htm)). Las propiedades de los conjuntos infinitos parecen poco intuitivas, pero por supuesto, las pruebas demuestran que son ciertas.

Mi opinión es que a quien se le ocurrió la raíz cuadrada de -1 lo hizo muchos años antes de que se "escapara" de las matemáticas y encontrara un uso práctico. Antes de eso, tal vez la gente pensaba que era inteligente, pero no necesariamente útil o incluso "verdadera". Así que, si necesitas entender la electricidad, y puedes hacerlo mejor utilizando i Entonces, incluso alguien que piensa que es una tontería tener una raíz cuadrada de -1 negativo tendría que admitir a regañadientes que hay algo de "realidad" en ella, a pesar de su falta de intuición, porque la electricidad se comporta como si "existiera".

Viendo que hubo tanta resistencia a los conjuntos infinitos al principio, incluso entre los matemáticos, me pregunto: ¿se ha "demostrado que las matemáticas de los conjuntos infinitos valen la pena" al tener una aplicación práctica fuera de las matemáticas, para que nadie pueda decir que son sólo unos juegos imaginativos?

Answer 1

El propósito de la teoría de conjuntos no es la aplicación práctica de la misma manera que, por ejemplo, el análisis de Fourier tiene aplicaciones prácticas. Para la mayoría de los matemáticos (es decir, los que no son teóricos de conjuntos), el valor de la teoría de conjuntos no está en ningún teorema concreto, sino en la idioma nos da. Hoy en día, incluso los informáticos describen su concepto básico -las máquinas de Turing- en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Esto es útil porque cuando se especifica un objeto en teoría de conjuntos no hay duda de lo que se está hablando y se puede responder sin ambigüedad a cualquier pregunta que se pueda tener sobre él. Sin definiciones precisas es muy difícil hacer matemáticas serias.

Supongo que otro punto importante aquí es que es difícil apreciar el papel de la teoría de conjuntos en las matemáticas sin conocer algo de la historia detrás de la crisis de las fundaciones en matemáticas, pero no conozco ninguna referencia especialmente buena.

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Tu segunda pregunta es más específica, así que te daré una respuesta más concreta: para entender a fondo las matemáticas que hay detrás de, por ejemplo, la física moderna, se requiere de hecho (entre otras muchas cosas) que entiendas las propiedades de los conjuntos infinitos porque topología se ha convertido en una parte importante de estas matemáticas, y la comprensión de la topología general depende en gran medida de la comprensión de las propiedades de los conjuntos infinitos. Que esto signifique que la teoría de conjuntos tenga alguna relación con la "realidad" depende de la fe que se tenga en los espacios topológicos como un buen modelo del mundo real.

Como ejemplo específico, la matemática detrás de la relatividad general se llama geometría diferencial . Creo que es justo decir que el desarrollo de la relatividad general habría sido imposible sin el lenguaje matemático para expresarla. La geometría diferencial tiene lugar en tipos especiales de colectores, que son tipos especiales de espacios topológicos. Así que para entender la geometría diferencial hay que entender al menos algo de topología. Y no creo que sea necesario justificar la utilidad de la relatividad general.

Answer 2

Hay muchos usos de los conjuntos infinitos y sus propiedades. Permítanme darles uno específico de la ciencia de la computación. Una tarea importante en informática es demostrar o verificar que los programas hacen lo que se supone que deben hacer. Cuando estos programas incluyen bucles y llamadas recursivas (autorreferencia), necesitamos métodos para demostrar que los bucles y las llamadas recursivas terminan, es decir, que el programa no se ejecutará eternamente. Los métodos habituales principio de inducción para los números naturales es suficiente para demostrar que un bucle simple termina, pero necesitamos una inducción doble para los bucles dobles, una inducción triple para los bucles triples, etc. Todo este asunto puede complicarse mucho cuando el programa es algo más que una simple combinación de bucles. La teoría de conjuntos ayuda a resolverlo todo con el principio de inducción transfinita y el cálculo de los números ordinales (infinitos). La inducción transfinita abarca todas las formas posibles de demostrar que un programa termina, mientras que los números ordinales se utilizan para expresar la complejidad de la prueba de terminación (cuanto más grande sea el número, más complicado será ver que el programa terminará realmente).

Answer 3

La teoría de conjuntos es un lenguaje extremadamente conveniente para poder definir y manipular rigurosamente varios "infinitos completados" - no sólo conjuntos infinitos como los números naturales o los números reales, sino infinitos completados mucho más "grandes", como Compactaciones Stone-Cech El hiperreales o ultrafiltros que suelen necesitar algunas herramientas teóricas de conjuntos bastante potentes, como El lema de Zorn para construir. En las aplicaciones, a menudo se pueden utilizar varios sustitutos "incompletos" y/o "finitarios" de estos objetos, que requieren menos maquinaria teórica de conjuntos para su establecimiento (por ejemplo, se puede evitar en gran medida el uso del axioma de elección), pero las matemáticas pueden ser mucho más complicadas al hacerlo.

Una vez que se ha establecido una cantidad no trivial de matemáticas en el ámbito de los espacios infinitos o continuos, a menudo se pueden derivar consecuencias finitas (al menos a un nivel cualitativo) mediante el uso de otras herramientas como los argumentos de compacidad o el análisis no estándar, que de nuevo se discuten más fácilmente si se trabaja dentro de un marco de teoría de conjuntos. Un buen ejemplo de ello es el Principio de correspondencia de Furstenberg que permite derivar afirmaciones combinatorias sobre conjuntos finitos de enteros utilizando el lenguaje infinito de la teoría ergódica, que puede requerir una cantidad no trivial de teoría de conjuntos para trabajar (por ejemplo, cuando se utilizan herramientas como la desintegración de medidas con respecto a un álgebra sigma). Personalmente, me gusta utilizar la técnica de los ultrafiltros (o el análisis no estándar) como puente entre el mundo finito de las matemáticas "prácticas" y el mundo infinito descrito por la teoría de conjuntos, como se discute, por ejemplo, en esta entrada de mi blog .

(Sin embargo, hay una advertencia importante: si se utilizan directamente herramientas como los ultrafiltros o la compacidad para transferir resultados infinitos a resultados finitos, a menudo se acaban obteniendo conclusiones de naturaleza cualitativa, o cuantitativa sólo con límites explícitos extremadamente pobres. A menudo, se requiere un esfuerzo adicional para obtener resultados cuantitativos finitarios con límites lo suficientemente efectivos como para ser útiles en aplicaciones del mundo real. No obstante, los resultados infinitarios pueden mostrar el camino a seguir y servir como una excelente fuente de analogía e intuición para desarrollar después una teoría cuantitativa finitaria satisfactoria).

Answer 4

La diferencia entre conjuntos contables e incontables tiene una importante consecuencia práctica. Existen infinitas secuencias finitas de cadenas que pueden construirse a partir de un conjunto finito de símbolos, por lo que existen infinitos programas de ordenador. Pero hay un número incontable de funciones de los números enteros a los números enteros. Por tanto, existen funciones que no pueden ser implementadas por ningún programa de ordenador. Si se siguen los detalles de la prueba estándar de la existencia de conjuntos incontables, tal como se aplica en este caso, se define una función no computable, el llamado "Problema de Halting".

Eso me parece bastante concreto. Se podría derivar este resultado sin hablar de conjuntos infinitos, pero el uso del lenguaje de la teoría de conjuntos y de la contabilidad abstrae el argumento central que subyace al problema de la parada para que pueda reutilizarse en otros contextos.

Answer 5

Se necesita la teoría de conjuntos para tener la teoría de la medida y se necesita la teoría de la medida para tener el análisis necesario para apoyar, por ejemplo, Serie de Fourier . En realidad, la mayor parte de lo que ocurre en el análisis real (y, por tanto, en el cálculo) depende de tener una comprensión predecible de cómo se comportan las sumas, las secuencias y los conjuntos infinitos.

Así pues, la teoría elemental de conjuntos y las ideas sobre conjuntos infinitos en particular son cruciales para todo tipo de matemáticas "prácticas".