Tratando de entender a sumas iguales.

Question

¿Por qué es eso?

$$z + \sum_{2 \le k \le n}^{\infty} \frac{q^{n-1}}{n-1} k(k-1)p^{n-k} \dbinom{2n-k-2}{n-2}z^n = \sum_{j, k \ge 0}^{\infty} \frac{q^{j+k-1}}{j+k-1} k(k-1)p^j \dbinom{2j+k-2}{j}z^{j+k}. $$

Entiendo que se puede enchufar $j+k=n$ pero ¿dónde está el $z$ ¿aparece en este último?

Answer 1

Empezamos por el lado derecho y obtenemos \begin{align*} \color{blue}{\sum_{j,k\geq 0}}&\color{blue}{\frac{q^{j+k-1}}{j+k-1}k(k-1)p^j\binom{2j+k-2}{j}z^{j+k}}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\left(\sum_{{j+k=n}\atop{j,k\geq 0}}\frac{q^{j+k-1}}{j+k-1}k(k-1)p^j\binom{2j+k-2}{j}\right)z^n\tag{1}\\ &=\sum_{n=0}^\infty\sum_{k=0}^n\frac{q^{n-1}}{n-1}k(k-1)p^{n-k}\binom{2n-k-2}{n-k}z^n\tag{2}\\ &=\sum_{0\leq k\leq n\leq \infty}\frac{q^{n-1}}{n-1}k(k-1)p^{n-k}\binom{2n-k-2}{n-2}z^n\tag{3}\\ &\,\,\color{blue}{=z+\sum_{2\leq k\leq n\leq \infty}\frac{q^{n-1}}{n-1}k(k-1)p^{n-k}\binom{2n-k-2}{n-2}z^n}\tag{4}\\ \end{align*} y la afirmación es la siguiente.

Comentario:

• En (1) reordenamos los sumandos introduciendo $n=j+k, n\geq 0$ .

• En (2) eliminamos el índice $j$ sustituyendo $j=n-k$ .

• En (3) reescribimos la región del índice y utilizamos la identidad binomial $\binom{p}{q}=\binom{p}{p-q}$ .

• En (4) observamos que los sumandos con índices $(n,k)\in\{(0,0),(0,1),(1,0)\}$ desaparecen debido al factor $k(k-1)$ mientras que en el caso $(n,k)=(1,1)$ la expresión $\frac{k-1}{n-1}$ cancela, dejando $z$ .