Cómo resolver un problema de cálculo de variaciones con condiciones finales

Question

He estado luchando por resolver problemas de cálculo de variaciones con condiciones terminales. El libro de texto que estoy usando para mi curso parece que sólo toca tangencialmente la metodología. Aquí hay un problema por ejemplo:

min $\int_{0}^{1}(10-16x-8x^2-\frac{1}{2}\dot{x}^2)dt$

con la condición inicial $x(0) = 0$ y en cada caso de la condición terminal:

1. $x(1) \in [0,1]$
2. $x(1) \leq 0$
3. $x(1) \geq 1$

¿Cómo podría resolver un problema como éste? Después de obtener la EDO y aislar para la constante A, no estoy seguro de cómo continuar

Answer 1

Elija $x(t) = \begin{cases}Kt,& t\in [0, {1 \over 2}] \\ K(1-t), & t \in [{1 \over 2},1]\end{cases} $ entonces $x(0) = x(1) = 0$ , y el coste es $J(x) = -{1 \over 3}(5 K^2+12K-30)$ . Al elegir $K$ arbitrariamente grande we podemos hacer que el coste sea tan pequeño como queramos.

Es sencillo ver que podemos hacer pequeños ajustes para $x$ en el punto medio para que $x$ es suave, pero esto complica el análisis y oscurece el punto.

Se deduce que 1., 2. no tienen solución. (Suponiendo que mis cálculos fueran correctos, una gran suposición).