Subsecuencias monótonas en una secuencia de $n^2+1$ números reales distintos

Question

Teorema: Cada secuencia de $n^2 + 1$ números reales distintos contiene una subsecuencia de longitud $n + 1$ que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

Así que para $n = 3$ aquí hay una secuencia de $3 \times 3 + 1 = 10$ números enteros distintos (ya que los enteros también son reales).

1 10 2 9 3 8 4 7 5 6

Según el teorema debe haber una secuencia de $3 + 1 = 4$ longitud que es estrictamente creciente o estrictamente decreciente. A continuación, enumero todas las $4$ longitud sub-secuencias.

1 10 2 9

10 2 9 3

2 9 3 8

9 3 8 4

3 8 4 7

8 4 7 5

4 7 5 6

No consigo encontrar ninguna que sea estrictamente creciente o estrictamente decreciente.

¿Significa esto que el teorema es falso?

Answer 1

Hay muchas más subsecuencias de longitud $4$ que los que usted ha enumerado. Todos los suyos consisten en consecutivos elementos de la secuencia original, pero también se permite que una subsecuencia se salte elementos.

Answer 2

Una subsecuencia no significa que los términos tengan que ser consecutivos, sólo en el mismo orden.

Su secuencia contiene la subsecuencia creciente 1,2,3,4,5,6.

(Y el teorema es efectivamente cierto).