¿Existe un "número positivo más pequeño que no sea cero"?

Question

Mi hermano y yo hemos estado discutiendo si sería posible tener un "número positivo más pequeño" o no y hemos llegado a la conclusión de que es imposible.

Este es nuestro razonamiento: en primer lugar, mi hermano habló de que siempre se puede reducir algo a la mitad, $(1, 0.5, 0.25, \dotsc)$ . Yo mismo creo que es imposible por algo que se me ocurrió. Se puede poner una cantidad infinita de ceros en el lugar decimal antes de un número, $(0.1, 0.01, 0.001, \dotsc)$ . Sin embargo, no estoy del todo seguro de que nuestro razonamiento sea correcto. Me han dicho que hay un número mínimo posible, pero he decidido comprobarlo por mí mismo.

Answer 1

Tanto tu argumento como el de tu hermano son correctos. Supongamos que N es el conjunto de todos los números positivos.

Ahora dejemos que a,b $\in Q$ donde Q es un conjunto de todos los números racionales.

Ahora , $\frac{a+b}{2}$ es de nuevo un número racional . Se puede demostrar tomando a = $\frac{p}{q}$ ,b= $\frac {r}{s}$ . Y utilizar las propiedades de la fracción.

Ahora suponemos que a=0,b=1. Ahora $\frac{0+1}{2}$ $\in Q$ .que es mayor que 0 y por lo tanto es un número real positivo. $\frac{0+1}{2}$ =0,5 como c. Entonces $\frac{0+c}{2}$ es de nuevo mayor que cero y $\in Q$ . Por lo tanto, entre dos números racionales hay infinitas posibilidades de encontrar un nuevo número racional.