¿Existe un "número positivo más pequeño que no sea cero"?

Question

Mi hermano y yo hemos estado discutiendo si sería posible tener un "número positivo más pequeño" o no y hemos llegado a la conclusión de que es imposible.

Este es nuestro razonamiento: en primer lugar, mi hermano habló de que siempre se puede reducir algo a la mitad, $(1, 0.5, 0.25, \dotsc)$ . Yo mismo creo que es imposible por algo que se me ocurrió. Se puede poner una cantidad infinita de ceros en el lugar decimal antes de un número, $(0.1, 0.01, 0.001, \dotsc)$ . Sin embargo, no estoy del todo seguro de que nuestro razonamiento sea correcto. Me han dicho que hay un número mínimo posible, pero he decidido comprobarlo por mí mismo.

Answer 1

Una simple prueba por contradicción funciona aquí .

• Supongamos que $a$ es el menor número real positivo.
• A continuación, divídalo por $n$ (donde $n>1$ ) para obtener $\displaystyle\frac a n$ .
• Este nuevo número es menor que $a$ .

Tu hermano eligió $n=2$ , mientras que usted eligió $n=10$ .

Así que podemos negar la existencia de un número real positivo más pequeño ya que

... hay un número "más pequeño" y sin embargo hay un número más pequeño que él.

El mismo argumento funciona con números racionales positivos.

Answer 2

Se puede poner una cantidad infinita de ceros en el lugar decimal antes de un número (0,1, 0,01, 0,001, etc.). razonamiento es correcto.

Esta afirmación es técnicamente errónea, lo que hace que el razonamiento de tu hermano sea más correcto que el tuyo. Deberías reconocer que la palabra "infinito" aquí es efectivamente sólo una abreviatura de "continúa para siempre", "no tiene ningún final", y "siempre tiene otro del mismo dígito a continuación". Por lo tanto, es una contradicción decir que se puede tener un número infinito de ceros y luego otro dígito; esta contradicción esencial significa que no hay ningún número real así, y por lo tanto, ningún número real positivo más pequeño.

Por otro lado: Sería correcto decir que se puede tener un arbitrario número de ceros antes de un 1, es decir, efectivamente ser capaz de encontrar un decimal positivo menor que cualquier otro número que alguien proponga como "más pequeño".

Answer 3

No existe el menor número real positivo. El argumento de tu hermano es correcto.

Su argumento también es correcto. Como se menciona en los comentarios su hermano divide por $2$ mientras que su argumento equivale a dividir por $10$ . Sin embargo, es mejor decir que puede haber un número arbitrario de $0$ en lugar de infinitamente. (No se puede tener un número infinito de $0$ y luego la primera $1$ o dígito no nulo, en una expansión decimal. Pero no hay límite en el número de $0$ se puede tener antes del primer dígito distinto de cero; también en total puede haber infinitas $0$ pero no antes de la primera no nula).

Por supuesto que hay un número entero/integro positivo más pequeño, es $1$ . El argumento de la reducción a la mitad no funciona aquí, ya que no se puede dividir $1$ en dos números enteros positivos.

Hay varias ramificaciones de esto y es posible que desee buscar en infinitesimales o conjuntos ordenados si tiene curiosidad por estas cosas.

En cuanto al objeto más pequeño del mundo, es una cuestión de física, que no tiene una respuesta definitiva, que yo sepa. Pero hay algunas teorías en las que existe una longitud medible más pequeña en algún sentido, véase Longitud de Planck .

Answer 4

No se puede tener un número con un número infinito de ceros seguido de un uno.

Por supuesto, en matemáticas no se puede decir arbitrariamente "esto está permitido" y "esto no está permitido". Tienes que recurrir a una definición aceptada para ver si algo tiene sentido.

En este caso, un número decimal $0.x_1x_2x_3\ldots$ es la abreviatura de $\frac{x_1}{10^{1}}+\frac{x_2}{10^{2}}+\frac{x_3}{10^{3}}+\cdots$ Es decir $$\sum_{i =1}^\infty {\frac{x_i}{10^{i}}}.$$ Ahora bien, es necesario discutir lo que significa una suma infinita y si converge para que esto tenga sentido, pero incluso sin eso, podemos ver que la afirmación anterior no tiene sentido. Cada dígito de un número es un coeficiente en la suma correspondiente a una potencia entera positiva de 10. Con el número que sugieres, necesitas una potencia entera de 10 a la que puedas asignar 1 como coeficiente y que dé un número infinito de potencias menores de 10 a las que asignar 0, es decir, un número entero positivo que sea menor que un número infinito de enteros positivos. No existe tal número. De hecho, todo entero positivo $n$ es mayor que sólo $n-1$ enteros positivos más pequeños, que es finito.

Answer 5

Sí, hay un número positivo más pequeño que no es cero si quieres que lo haya.

Todo en matemáticas es una etiqueta para un concepto. Por eso es popular llamar a las matemáticas un lenguaje. Si no hay una palabra para algo, se puede inventar una.

Sin embargo, si quieres comunicarte con los demás, tienes que hablar el mismo idioma, lo que significa ponerse de acuerdo en las definiciones y atenerse a ellas. En matemáticas, no solemos considerar que los infinitos (ω) o los infinitesimales (ε) sean números reales (ℝ) porque no son arquimedianos. A veces los tratamos como si lo fueran. Pero incluso entonces, los llamamos números hiperreales (*ℝ), y decir que son una extensión del conjunto de los números reales.

Usted y su hermano esencialmente aplicaron el axioma de Arquímedes y llegó a la conclusión generalmente aceptada.

Para cualquier ε positivo en K, existe un número natural n, tal que 1/n < ε.

Tú elegiste el número natural 10 (añadiendo un cero extra en el lugar decimal antes de un número) y tu hermano eligió el 2. Aunque, asmeurer Señala, con razón, que no es correcto decir "poner una cantidad infinita de ceros en el lugar decimal antes de un número".

Si bien ha resultado útil dar al infinito un nombre y un símbolo (∞), no se puede decir lo mismo de lo que es una distancia positiva infinitesimal de cero.

Deberías quitarte estos dos puntos:

1. Lo que está a una distancia infinitesimal positiva de cero no es un número real.
2. No hay nombre ni símbolo para lo que está a una distancia positiva infinitesimal de cero.

Pero adelante, llámalo número y dale un nombre y un símbolo. Si quieres.