Tengo el operador $$f\to Tf = f(\sqrt{x}). $$ ¿Cómo puedo mostrar si es continuo o no para $C[0,1]$ (norma uniforme) y $L^2[0,1]$ ?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
En primer lugar, tenga en cuenta que $T$ es lineal: $T(\alpha f+ \beta g)=\alpha Tf+ \beta Tg$ .
1) En cuanto a $C[0,1]$ dejando que $x=t^2$ , $$\sup_{x\in[0,1]}|(Tf)(x)|=\sup_{x\in[0,1]}|f(\sqrt{x})|= \sup_{t\in[0,1]}|f(t)|.$$
2) Por otro lado, en $L^2[0,1]$ , de nuevo dejando que $x=t^2$ , $$\begin{align} \int_0^1((Tf)(x))^2 dx=\int_0^1(f(\sqrt{x}))^2 dx= \int_0^1(f(t))^2 2t dt\leq 2\int_0^1(f(t))^2 dt. \end{align}$$ ¿Puedes llevarlo desde aquí?
