Mostrar $ $ $\frac{2n}{n-2} \notin \mathbb{N}$ $ $ para $ $ $n>6$.

Question

¿Cómo puedo mostrar $\frac{2n}{n-2} \notin \mathbb{N}$ para $n>6$?

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Esto surgió en un problema no relacionado como una condición para validar mi solución. He intentado inducción, pero no veo cómo probar $\frac{2k}{k-2} \Rightarrow \frac{2(k+1)}{(k+1)-2}$.

Answer 1

La inducción no es la mejor manera de proceder aquí. En su lugar, nota que $\frac{2n}{n-2} = 2+\frac{4}{n-2}$. ¿Cuándo sería esto un número entero?

Answer 2

$$\frac{2n}{n-2} = \frac{2n-4+4}{n-2} = 2+\frac{4}{n-2}$$ Si $n>6$, $\frac{4}{n-2}<1$, lo que significa que no puede ser un número entero.

Si $\frac{4}{n-2}$ no puede ser un entero, entonces tampoco lo puede ser $2+\frac{4}{n-2}$.

Por lo tanto, $\frac{2n}{n-2} \notin \mathbb{N}$ para $n>6$

Answer 3

Esto es cierto para todo $n>6$. Supongamos lo contrario, es decir, $m=\frac{2n}{n-2}$ es un entero $>6$. entonces para $n$ par digamos $n=2k$, entonces $m=2\cdot\frac{2k}{2k-2}=2\frac{k}{k-1}$, pero $k\in \mathbb{N}$ entonces $\gcd(k,k-1)=1$ para todo $k> 3$, lo cual es imposible. Para $n$ impar digamos $n=2k-1$ entonces $m=2\cdot\frac{2k-1}{2k-1-2}=2\frac{2k-1}{2k-3}$, ya que (2k-1)-(2k-3)=2, entonces $\gcd(2k-1,2k-3)=1$, lo cual también es imposible obtener un entero.

Answer 4

Supongamos que $\dfrac{2n}{n-2}=k$ para algún entero $k$ y para algún $n>6$. Mostramos que $k$ debe ser menor que $n:

$$n>6 \implies n>4 \implies n-4>0 \implies n(n-4)>0 $$

$$\implies n^2-2n>2n \implies n(n-2)>2n \implies n> \dfrac {2n}{n-2} \implies n>k$$

Pero $\dfrac{2n}{n-2}=k \implies 2n=nk-2k \implies n(2-k)=-2k \implies \dfrac {2k}{k-2}=n$, lo cual sorprendentemente tiene la misma forma que el original.

Ahora, si $k>4$, podemos aplicar el mismo argumento largo que arriba para concluir que $k>n$, lo cual sería una contradicción. Así que $k \le 4$. Pero al sustituir $k=1, 2, 3, 4$ y resolver para $n$ muestra que $n$ no es un entero mayor que $6$, lo cual es nuevamente una contradicción.