Inducción: el complemento A1 U A2 U An es la intersección de Ac 1, Ac 2, , Ac n

Question

Demostrar por inducción que el complemento de $A1 \cup A2...An = A1^c \cap A2^c ...\cap An^c$

Mi enfoque: el paso básico es cierto, $\overline A1 = A1^c$ ,

entonces asume $A1 \cup A2...Ak = A1^c \cap A2^c ...\cap Ak^c$ , demuestre el caso de $k+1$ es cierto. ¿Cómo debo hacerlo?

Answer 1

Una pista: Su paso básico debe ser $n=2$ . Entonces, como $$\overline{\bigcup_{i=1}^{n}A_i}=\overline{\left(\bigcup_{i=1}^{n-1}A_{i}\right)\cup A_n}$$ puede utilizar el caso $n=2$ y la hipótesis de la inducción.

Answer 2

La estructura básica consiste en mostrar

1) $(A_1 \bigcup A_2 \ldots A_k \bigcup A_{k+1})^c \subset A_1^c \cap A_2^c \ldots A_k^c \cap A_{k+1}^c$

y

2) $A_1^c \cap A_2^c \ldots A_k^c \cap A_{k+1}^c \subset (A_1 \bigcup A_2 \ldots A_k \bigcup A_{k+1})^c$

Dejemos que $x \in (A_1 \bigcup A_2 \ldots A_k \bigcup A_{k+1})^c$ . Entonces $x \notin A_1 \bigcup A_2 \ldots A_k \bigcup A_{k+1}$ . Esto implica $x \notin A_1 \bigcup A_2 \ldots A_k$ y $x \notin A_{k+1}$ . Luego, usa la inducción, etc. y esto logra el #1. A continuación, hacer una cosa similar para # 2.