¿Por qué el determinante de una matriz de 2 por 2 es el área de un paralelogramo?

Question

Dejemos que $A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$ .

¿Cómo podríamos demostrar que $ad-bc$ es el área de un paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+b, c+d)$ ?

¿Son iguales las áreas de los siguientes paralelogramos?

$(1)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+c, b+d)$ .

$(2)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, c),\ (b, d),\ (a+b, c+d)$ .

$(3)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+d, b+c)$ .

$(4)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, c),\ (b, d),\ (a+d, b+c)$ .

Muchas gracias.

Answer 1

Otra prueba geométrica utilizando una animación en desmos :

El rectángulo verde y el paralelogramo tienen la misma base y altura:

$\operatorname{green}=\operatorname{area}\left((0,0)(a,0)(a,d)(0,d)\right)=ad= \operatorname{area}\left((0,0)(a,0)(a,{c}+d)(c,d)\right).$

El rectángulo naranja y el paralelogramo tienen la misma base y altura:

$\operatorname{orange}=\operatorname{area}\left((a,d)(a+c,d)(a+c,b+d)(a,b+d)\right)=bc= \operatorname{area}\left((a,0)(a+c,d)(a+c,b+d)(a,b)\right).$

Los paralelogramos violeta, verde y naranja tienen las mismas bases, la altura del paralelogramo verde es la suma de las alturas de los paralelogramos violeta y naranja.

$\operatorname{violet} + \operatorname{orange} = \operatorname{green}$

$\operatorname{violet}=\operatorname{area}\left((0,0)(a,b)(a+c,b+d)(c,d)\right) = \operatorname{green} - \operatorname{orange} = ad-bc$