¿Por qué el determinante de una matriz de 2 por 2 es el área de un paralelogramo?

Question

Dejemos que $A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$ .

¿Cómo podríamos demostrar que $ad-bc$ es el área de un paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+b, c+d)$ ?

¿Son iguales las áreas de los siguientes paralelogramos?

$(1)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+c, b+d)$ .

$(2)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, c),\ (b, d),\ (a+b, c+d)$ .

$(3)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+d, b+c)$ .

$(4)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, c),\ (b, d),\ (a+d, b+c)$ .

Muchas gracias.

Answer 1

Aquí hay un gif animado que hice para derivar el área de un paralelogramo.

Answer 2

Si se calcula el producto cruzado de (a,b,0) y (c,d,0), se obtiene (en la tercera coordenada) ad-bc. Esto es, hasta el signo, el área del paralelogramo.

Por cierto, creo que (3) y (4) no son paralelogramos, ¿verdad?

Answer 3

Además, si las coordenadas de cualquier forma se transforman mediante una matriz, el área cambiará por un factor de escala igual al determinante.

Dado que el determinante es el factor de escala cuando el cuadrado unitario se transforma en un paralelogramo, será el factor de escala cuando cualquier paralelogramo con el origen como vértice se transforme en cualquier otro paralelogramo porque la matriz inversa transformará un paralelogramo de nuevo en un cuadrado y tiene determinante recíproco. Si no hay inversa, el determinante es 0 y la forma transformada no tiene área.

Cualquier triángulo con el origen como vértice puede dibujarse como la mitad de un paralelogramo que incluya el origen. Cualquier triángulo que no incluya el origen es el área de un triángulo que contenga el origen menos dos triángulos interiores que no contengan el origen. El área de cualquier forma puede dividirse en triángulos, aunque se requerirá un número infinito si tiene lados curvos.

Answer 4

Escribí esto para una clase mía de álgebra lineal. El argumento se basa en el uso de cizallas.

Suponga que tiene dos vectores, (a, ay) y (xd, xyd+d). Extraña elección y abundancia de variables que se explicará en un momento. Obviamente puedo encontrar el determinante de esto, que es ad (hazlo).

Así que si quiero demostrar que el determinante es un área, tengo que demostrar que estos vectores raros comparten un área con (a,0) y (0,d), que también tiene el determinante ad. Pues bien, resulta que lo que puedo hacer es cizallar la matriz con (a,0) y (0,d) como columnas, ya que un cizallamiento no altera para nada el área (demuéstralo geométricamente).

Toma el vector (a,0) y (0,d) y aplica la matriz de cizallamiento (1,x,0,1), seguida de (1,0,y,1), lo que te da los vectores originales de weirdo (a,ay) y (xd, xyd+d). Como las cizallas no cambian de área, y conocemos el área del rectángulo formado por (a,0) y (0,d), el área de dos vectores arbitrarios puede expresarse mediante su determinante, que hemos demostrado que es idéntico al determinante de la matriz rectangular (a,0,0,d). QED.

Se puede extender este argumento a las 3D, etc., aplicando cizallas en cualquier dirección arbitraria. Por lo tanto, un determinante le proporcionará un volumen en cualquier R^n.

Answer 5

Hice la siguiente diapositiva para explicar de dónde viene esta fórmula: