¿Por qué el determinante de una matriz de 2 por 2 es el área de un paralelogramo?

Question

Dejemos que $A=\begin{bmatrix}a & b\\ c & d\end{bmatrix}$ .

¿Cómo podríamos demostrar que $ad-bc$ es el área de un paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+b, c+d)$ ?

¿Son iguales las áreas de los siguientes paralelogramos?

$(1)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+c, b+d)$ .

$(2)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, c),\ (b, d),\ (a+b, c+d)$ .

$(3)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, b),\ (c, d),\ (a+d, b+c)$ .

$(4)$ paralelogramo con vértices $(0, 0),\ (a, c),\ (b, d),\ (a+d, b+c)$ .

Muchas gracias.

Answer 1

Pase un poco de tiempo con esta figura debido a Solomon W. Golomb y la iluminación no está lejos:

(Aparecido en Revista de matemáticas (marzo de 1985).

Answer 2

Sé que llego muy tarde con mi respuesta, pero hay un enfoque geométrico bastante sencillo para explicarlo. Me sorprende que nadie lo haya mencionado. Sin embargo, tiene un inconveniente: no explica por qué el área invierte el signo, porque no existe el área negativa en geometría, al igual que no se puede tener una cantidad negativa de manzanas (a menos que se estudie economía).

Es básicamente:

  Parallelogram = Rectangle - Extra Stuff.

Si se simplifica $(c+a)(b+d)-2ad-cd-ab$ obtendrá $ad-bc$ .

También es interesante observar que si se intercambian los lugares de los vectores entonces se obtiene un negativo (lo contrario de lo que $ad-bc$ produciría) área, que es básicamente:

  -Parallelogram = Rectangle - (2*Rectangle - Extra Stuff)

O más concretamente:

$(c+a)(b+d) - [2*(c+a)(b+d) - (2ad+cd+ab)]$

También es $bc-ad$ cuando se simplifica.

Lo triste es que no hay una buena razón geométrica para que el signo se invierta, tendrás que recurrir al álgebra lineal para entenderlo.

Como otros han señalado, el determinante es el factor de escala de la transformación lineal, por lo que un factor de escala negativo indica una reflexión.

Answer 3

El orientado zona $A(u,v)$ del paralelogramo abarcado por los vectores $u,v$ es bilineal (por ejemplo $A(u+v,w)=A(u,w)+A(v,w)$ se puede ver añadiendo y quitando un triángulo) y sesgado-simétrico. Por lo tanto, $A(ae_1+be_2,ce_1+de_2)=(ad-bc)A(e_1,e_2)=ad-bc$ . (lo mismo funciona para volúmenes orientados en cualquier dimensión)

Answer 4

Para la matriz $\left[\begin{array}{cc} a & c \\ b & d \\ \end{array}\right]$ dejar $$A = \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array}\right] \;\text{and}\; B = \left[\begin{array}{c} c \\ d \\ \end{array}\right]$$

como se muestra en la siguiente figura.

Entonces la altura del paralelogramo es

$$\text{height} = |B|\sin\alpha = |B|\cos\beta.$$

Si giramos $A$ en 90 grados en la dirección CCW como sigue:

$$R_{90º}A = \left[\begin{array}{cc} 0 &-1 \\ 1 &0 \\ \end{array}\right] \left[\begin{array}{c} a \\ b \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{c} -b \\ a \\ \end{array}\right],$$

manteniendo la magnitud de la base como

$$\text{base} = |A| = |R_{90º}A|,$$

entonces está claro que el área del paralelogramo es por tanto

$$ \text{base}\times\text{height}=(|A|)(|B|\sin\alpha) = |R_{90º}A|\;|B|\cos\beta = (R_{90º}A)\cdot B = \left[\begin{array}{c} -b \\ a \\ \end{array}\right] \cdot \left[\begin{array}{c} c \\ d \\ \end{array}\right] = ad-bc. $$ Q.E.D.

Answer 5

Siempre se me olvidan los trucos para demostrar esto, así que he descubierto que la única manera de recordarlo es atenerse a los principios básicos. Podemos deformar el paralelogramo para obtener un cuadrado así.

Ahora sólo tenemos que encontrar las longitudes de los lados de este rectángulo. La altura es fácil, es sólo d. Para obtener la longitud de la base, encontramos:

y así con un poco de álgebra encontramos que la longitud de la base es $a-b\times\frac{c}{d}$ .

Por lo tanto, la zona es sólo $$ d(a-\frac{bc}{d}) = ad - bc$$