Hallar la longitud de arco de $6xy-y^4=3$

Question

Encuentre la longitud de arco de $6xy-y^4=3$ desde el punto $(19/12,2)$ al grano $(14/3,3)$ .

En los problemas de longitud de arco que he tenido hasta ahora, me dieron una función $f(t)$ y luego encontrar la parametrización de $f(t)$ . No sé cómo seguir con este problema.

Answer 1

Parece que se puede expresar fácilmente $x$ en función de $y$ :

$$x = \frac{1}{2 y} + \frac16 y^3$$

Así que calcula $dx/dy$ :

$$\frac{dx}{dy} = -\frac{1}{2 y^2} + \frac12 y^2$$

y observe que la longitud del arco es

$$\int_2^3 dy \sqrt{1+\left ( \frac{dx}{dy}\right)^2}$$

Resulta que el integrando se reduce a algo muy simple, y obtengo $13/4$ para la longitud del arco.

Answer 2

Un buen punto: si $F(x,y)=0$ define $y$ con respecto a $x$ implícitamente, entonces $$y'=\frac{-F_x}{F_y}$$ Ahora, además de la respuesta de @Ron, puedes utilizar la siguiente fórmula: $$L=\int_a^b\sqrt{1+y'^2}dx$$