Valores propios de sumas de matrices

Question

¿Existe una relación entre los valores propios de las matrices individuales y los valores propios de su suma? ¿Y en el caso especial de que las matrices sean hermitianas y definidas positivamente?

Estoy investigando esto con respecto a encontrar el corte del gráfico normalizado bajo restricciones convexas generales. Cualquier indicación será muy útil.

Answer 1

Idealmente me gustaría generalizar esto a un conjunto más amplio (pero también degenerado) de matrices, pero hasta ahora este es el único ejemplo de trabajo conjetural que puedo dar por el momento:

Que el $N$ por $N$ matriz triangular inferior $L$ ser definido por la tetración:

$$\text{If } \text{ mod}(n,tk)=0 \text{ then } L(n,k)= \underbrace{e^{e^{\cdot^{\cdot^{e^{1}}}}}}_m \text{ else } L(n,k)=0$$ donde:
$$n=1..N$$ $$k=1..N$$ .

y que el $N$ por $N$ matriz triangular superior $U$ definirse como:

$$\text{If } \text{ mod}(k,tn)=0 \text{ then } U(n,k)= \mu(n) \text{ else } U(n,k)=0$$ donde:
$$n=1..N$$ $$k=1..N$$ .

y que la plaza $N$ por $N$ matriz $A=L.U$ cuando $t=1$ ,
y que la plaza $N$ por $N$ matriz $B=L.U$ cuando $t=2$ ,
y que la plaza $N$ por $N$ matriz $C=A+B$ .

Denotemos los valores propios de $A$ con $\lambda_A(n)$ y
denotan los valores propios de $B$ con $\lambda_B(n)$ y
denotan los valores propios de $C$ con $\lambda_C(n)$ .

Parece entonces que para $m$ trozos de logaritmos naturales de los valores propios $\lambda_A(n),\lambda_B(n)$ y $\lambda_C(n)$ se cumple lo siguiente:

$$\text{sgn}(\lambda_A(n))\underbrace{\log(\log(...\log(}_m |\lambda_A(n)|)...))+\text{sgn}(\lambda_B(n))\underbrace{\log(\log(...\log(}_m |\lambda_B(n)|)...))=\text{sgn}(\lambda_C(n))\underbrace{\log(\log(...\log(}_m |\lambda_C(n)|)...))$$ como $m \rightarrow \infty$ .

Programa de Mathematica asociado para demostrar la conjetura:

(*start*)
(*Mathematica 8.0.1*)
Clear[C1, C2, A, B, s, nn, i];
mm = 32;

"Counts to 32"
t = 1;
Monitor[Table[
  A = Table[
     Table[If[Mod[n, t*k] == 0, Exp[Exp[Exp[1]]], 0], {k, 1, nn}], {n,
       1, nn}].Table[
     Table[If[Mod[k, t*n] == 0, MoebiusMu[n], 0], {k, 1, nn}], {n, 1, 
      nn}];
  a = Eigenvalues[A];
  N[Sum[Sign[a[[i]]] If[a[[i]] == 0, 0, 
      Log[Log[Log[Abs[a[[i]]]]]]], {i, 1, nn}], 6], {nn, 1, mm}], nn]
sumA = Round[%]

"Counts to 32"
t = 2;
Monitor[Table[
  B = Table[
     Table[If[Mod[n, t*k] == 0, Exp[Exp[Exp[1]]], 0], {k, 1, nn}], {n,
       1, nn}].Table[
     Table[If[Mod[k, t*n] == 0, MoebiusMu[n], 0], {k, 1, nn}], {n, 1, 
      nn}];
  b = Eigenvalues[B];
  N[Sum[Sign[b[[i]]] If[b[[i]] == 0, 0, 
      Log[Log[Log[Abs[b[[i]]]]]]], {i, 1, nn}], 6], {nn, 1, mm}], nn]
sumB = Round[%]

"Counts to 32"
C1 = A + B;
Monitor[Table[C2 = Table[Table[C1[[n, k]], {k, 1, nn}], {n, 1, nn}];
  c = Eigenvalues[C2];
  N[Sum[Sign[c[[i]]] If[c[[i]] == 0, 0, 
      Log[Log[Log[Abs[c[[i]]]]]]], {i, 1, nn}], 6], {nn, 1, mm}], nn]
sumC1 = Round[%]

sumA + sumB
Sum[Table[
  Sum[If[Mod[n, k] == 0, MoebiusMu[n/k], 0], {n, 1, nn}], {nn, 1, 
   mm}], {k, 1, t}]
%%% - %%
%%% - %%

t = 1;
muA = Table[
  Sum[If[Mod[n, t] == 0, MoebiusMu[n/t], 0], {n, 1, nn}], {nn, 1, mm}]
t = 2;
muB = Table[
  Sum[If[Mod[n, t] == 0, MoebiusMu[n/t], 0], {n, 1, nn}], {nn, 1, mm}]
muC = muA + muB
(*end*)