Límite de una suma de senos al cuadrado

Question

Siguiendo con esta pregunta Niza Límite $\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} \sin^2\left(\frac{\pi}{n+k}\right)$ .

Arreglar un verdadero $a$ y considera la suma:

$$S(n)=\sum_{k=1}^n \sin^2\left(\frac{n^a\pi}{n+k}\right)$$

En la pregunta vinculada se demuestra que para $a=0$ la suma converge a cero para grandes $n$ . También es fácil demostrar que para $a=1$ la suma diverge, reconociendo una suma de Riemann. La pregunta surge de forma natural: ¿qué ocurre para diferentes $a$ ?

Mis pensamientos por el momento:

• Para $0<a<1/2$ la suma converge a cero utilizando los mismos argumentos de la respuesta enlazada.

• Para $1/2<a<1$ podemos proceder así. Utilizando la serie de Taylor de $sin(x^2)$ tenemos que $sin(x^2) \ge x^2 - x^4/3$ para que:

$S(n) \ge \sum_{k=1}^n \frac{n^{2a}\pi^2}{(n+k)^2} \left( 1-\left( \frac{n^a \pi}{n+k}\right)^2 \frac{\pi^2}{3} \right)$

ahora $0 \le \left( \frac{n^a \pi}{n+k}\right) \le \left( \frac{n^a \pi}{2n}\right) \rightarrow_{n} 0$ si $a<1$

por lo que podemos maximizar con seguridad el término del paréntesis con una constante $K_1>0$ y eliminar un término:

$S(n) > K_1 \sum_{k=1}^n \frac{n^{2a}\pi^2}{(n+k)^2} > K_2 \sum_{k=1}^n \frac{n^{2a}}{n^2} = K_2 n^{2a-1}$

, donde $K_2$ es otra constante positiva. El último término diverge para $a>1/2$ .

¿Es correcto hasta ahora?

Creo entonces que para $a=1/2$ el límite converge a un valor no trivial. También conjeturo que diverge para $a>1$ .

Para $a=1/2$ Sólo tengo argumentos ingenuos y para $a>1$ no tienen ni idea ya que el argumento del seno diverge y el seno oscila para argumentos grandes.

ACTUALIZACIÓN: para $a>1$ Creo que se podría intentar definir el ángulo $\alpha_k=\frac{n^a\pi}{n+k},k=1..n$ . Para grandes $n$ esto gira desde $\frac{n^{a-1}\pi}{2}$ a $n^{a-1}\pi$ . Si se pudiera demostrar que este ángulo queda "lejos" de $0$ y $\pi$ un número suficiente de veces, la divergencia podría entonces ser probada.

Answer 1

Por conveniencia, las notaciones en la siguiente prueba se definen aquí.

1. $f(n)=\Theta(g(n))$ Existen constantes $A,B$ que son independientes de $n$ , de tal manera que $$\exists N,\forall n\geqslant N, Ag(n)\leqslant f(n)\leqslant Bg(n).$$ 2. $\psi'(x)$ la segunda derivada de $\ln \Gamma(x)$ .

Hay algunas propiedades de $\psi'(x)$ en el enlace: http://dlmf.nist.gov/5.15.E8

Para los fijos $a\in (0,1)$ tenemos $$\sin^2\frac{n^a\pi}{n+k}=\frac{n^{2a}\pi^2}{\left(n+k\right)^2}+\Theta\left(n^{4a-4}\right).$$ Así, como $n\to \infty$ , \begin{align*} S(n)& =\sum_{k=1}^n\left(\frac{n^{2a}\pi^2}{\left(n+k\right)^2}+\Theta\left(n^{4a-4}\right)\right)\\ & =n^{2a}\sum_{k=n+1}^{2n}\frac{\pi^2}{k^2}+\Theta\left(n^{4a-3}\right)\\ & =n^{2a}\pi^2\left\{\psi'(n+1)-\psi'(2n+1)\right\}+\Theta\left(n^{4a-3}\right)\\ & =n^{2a}\pi^2\left(\frac{1}{2n}+\Theta\left(n^{-2}\right)\right)+\Theta\left(n^{4a-3}\right)\\ & =\frac{\pi^2}{2}n^{2a-1}+\Theta\left(n^{\max\{2a-2,4a-3\}}\right). \end{align*} A continuación, $$\lim_{n\to \infty}S(n)= \begin{cases} 0& \mathrm{if}\ a<\frac{1}{2},\\ \frac{\pi^2}{2}& \mathrm{if}\ a=\frac{1}{2},\\ +\infty& \mathrm{if}\ a>\frac{1}{2}. \end{cases} $$