¿Es un espacio vectorial complejo cerrado bajo conjugación compleja?

Question

Dado un espacio vectorial complejo $\mathcal{V}$ su conjugado complejo $\overline{\mathcal{V}} = \{ \overline{v} : v \in \mathcal{V} \}$ consiste en el "mismo" conjunto de puntos (según varias referencias...). Me cuesta conciliar esto con el siguiente ejemplo:

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Definir $ \mathcal{V} = \mathrm{span}_{\mathbb{C}}\{(1,i)\} = \{ (\alpha + \beta i, -\beta + \alpha i) : \alpha,\beta \in \mathbb{R} \}\,. $
Entonces, $(1,i) \in \mathcal{V}$ y así $\overline{(1,i)} \in \overline{\mathcal{V}}$ pero $\overline{(1,i)} = (1,-i) \notin \mathcal{V}$ . Así, algunos vectores en $\overline{\mathcal{V}}$ no están en $\mathcal{V}$ (y viceversa).

Editado para añadir solución propuesta (basado en los comentarios): Conjugación compleja en $\mathcal{V}$ se puede (re)definir como $$ \overline{(\alpha + \beta i, \, -\beta + \alpha i)} = (\alpha - \beta i, \,\beta + \alpha i) \in \mathcal{V} \,. $$

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¿Me estoy perdiendo algo? Si $\mathcal{V}$ es un espacio vectorial complejo, ¿entonces cómo conciliamos que tenga vectores diferentes a su conjugado complejo? Por otra parte, si $\mathcal{V}$ no es un espacio vectorial complejo, entonces ¿qué es?

Answer 1

La conjugación compleja no es una operación bien definida en un espacio vectorial complejo. Tener una operación que se comporta como la conjugación compleja es precisamente tener una estructura real.

Si $V$ es un espacio vectorial complejo, entonces $\overline{V}$ es otro espacio vectorial complejo que se puede construir a partir de $V$ . Su espacio vectorial real subyacente es el mismo que el de $V$ pero su estructura compleja es diferente: la multiplicación escalar en $\overline{V}$ es el conjugado de la multiplicación escalar en $V$ . Por lo tanto, existe un mapa natural $V \to \overline{V}$ de los espacios vectoriales reales, pero es explícitamente no un mapa de espacios vectoriales complejos.

Su ejemplo tampoco está bien definido. $V$ es sólo un poco $1$ -subespacio dimensional de $\mathbb{C}^2$ y eso es todo. $\overline{V}$ es algo $1$ -subespacio dimensional de la conjugar $\overline{\mathbb{C}^2}$ . Viven en espacios vectoriales complejos diferentes, por lo que no tiene sentido preguntarse si coinciden o no. Si se quiere identificar $\mathbb{C}^2$ con $\overline{\mathbb{C}^2}$ entonces hay que elegir una estructura real en $\mathbb{C}^2$ .

Todo esto se vuelve mucho más claro una vez que se introduce esencialmente cualquier cantidad de estructura extra; por ejemplo, se puede trabajar con complejos representaciones de un grupo $G$ en lugar de sólo espacios vectoriales complejos. También se da el caso de que para cada representación $V$ existe una representación conjugada $\overline{V}$ que de nuevo se define mediante la multiplicación escalar conjugada. Pero $V$ y $\overline{V}$ generalmente no son isomorfas en absoluto. En otras palabras, generalmente las representaciones complejas de un grupo no admiten una estructura real (compatible con la acción del grupo).