Hechos de la geometría algebraica que son útiles para los geómetras no algebraicos

Question

Un profesor mío (un topólogo geométrico, creo) criticó una vez el plan de estudios básico de mi institución porque enseña todo tipo de álgebra esotérica, pero no incluye información básica sobre la teoría de Galois y la geometría algebraica, que, según él, son importantes incluso para los no algebristas.

¿Qué datos de la geometría algebraica son útiles para los geómetras no algebraicos? Lo ideal sería que los enunciados, al menos, fuesen accesibles sin saber mucha geometría algebraica.

Edición: Por favor, no publique resultados que sólo son relevantes para las personas que ya saben cantidades masivas de geometría algebraica de todos modos. En particular: Sé muy cauteloso a la hora de publicar afirmaciones cuya única aplicación sea la teoría de números.

Ejemplo: He aquí una afirmación básica que he visto aplicada fuera de la geometría algebraica, si no necesariamente fuera del álgebra:

Dejemos que $U \subset \mathbb{C}^n$ . Si existe algún polinomio no nulo que se cumple en cada punto de $\mathbb{C}^n \smallsetminus U$ entonces $U$ es denso en $\mathbb{C}^n$ (con la topología habitual), y de hecho contiene un subconjunto abierto denso de $\mathbb{C}^n$ .

[Boceto de la prueba: Dado un punto cualquiera $p \in \mathbb{C}^n$ , encontrar una línea compleja $L$ de paso $p$ que se cruza con $U$ . Entonces $L \cap (\mathbb{C}^n \smallsetminus U)$ es algebraico, por lo que sólo contiene un número finito de puntos de $L$ y así $p$ es un punto límite de $U$ .]

Answer 1

Me gustaría mencionar el teorema de Bézout. Olvidando la complicada definición general del índice de intersección una de las consecuencias es: siempre que dos curvas en $\mathbf{P}^2(K), K$ un campo algebraicamente cerrado no tienen ninguna componente común, el número de puntos de intersección es finito y es siempre como máximo el producto de los grados. Además, es el producto de los grados siempre que ningún punto de intersección sea un punto singular y todas las intersecciones sean transversales. Para afirmar esto sobre $\mathbf{C}$ esencialmente sólo necesitamos el cálculo multivariable. Pero una demostración requiere un poco de geometría algebraica.

Permítanme mencionar también dos libros de geometría algebraica que presentan precisamente el tipo de material que probablemente utilizarán las personas de otras áreas. Uno es "Algebraic geometry, a first course" de Joe Harris; el otro es "Undergraduate algebraic geometry" de Miles Reid. Si no me falla la memoria, en algún lugar de este último libro se dice que cubre (junto con Atiyah-MacDonald) todas las preguntas de geometría algebraica que al autor le han planteado sus colegas especializados en otras áreas.

Answer 2

Basta con echar un vistazo al siglo XIX. Digamos que se busca una primitiva de una expresión algebraica. La pregunta general es si esta primitiva se puede escribir en términos de funciones elementales (fracción racional y logaritmos). La expresión algebraica suele estar asociada a alguna curva algebraica. La respuesta es afirmativa si la curva admite una parametrización racional. Cuando es no singular, esto equivale a tener género $0$ .

Por ejemplo, si $R$ es racional, entonces $$\int R\left(x,\sqrt{x^2+ax+b}\right)dx$$ puede expresarse en términos de funciones elementales. Por el contrario, $$\int \sqrt{x^3+ax+b}\,dx$$ no puede, a menos que el polinomio $x^3+ax+b$ tiene una raíz doble.

Una situación más avanzada es la de las ecuaciones diferenciales parciales lineales hiperbólicas. El operador diferencial define un símbolo, que es un polinomio en varias variables. Las propiedades de su conjunto cero, una variedad algebraica, son cruciales en muchos aspectos, por ejemplo para determinar si se cumple el principio de Huyghens (teoría de las lagunas). En la escuela rusa, destacados investigadores de la EDP se dedicaron también a la geometría algebraica (Petrovski, Oleinik).

Una situación definitivamente más avanzada es el uso de la geometría algebraica en el análisis de los problemas lineales de valor inicial-límite. Sea $L$ sea un operador diferencial, para el cual el problema de Cauchy está bien resuelto. Una condición necesaria para que un IBVP esté bien propuesto en ${\mathcal C}^\infty$ es el llamado Condición Lopatinskii que es algebraico y está parametrizado por frecuencias (a lo largo del límite y del tiempo). Si se sustituye ${\mathcal C}^\infty$ por un espacio de Sobolev $H^s$ entonces debe cumplirse la condición de Lopatinskii uniformemente . En varios casos interesantes, la condición LC o ULC resulta ser suficiente para la buena composición, pero esto requiere la construcción de una simetrizador disipativo que se basa en la geometría algebraica. Para los operadores hiperbólicos, véase el trabajo de H.-O. Kreiss (ULC) y los libros de R. Sakamoto (LC) o de S. Benzoni-Gavage y mío (ULC).

Answer 3

El cálculo de las bases de Grobner es muy práctico para la ingeniería, pero también teóricamente, en la combinatoria (por ejemplo, para demostrar la colorabilidad de determinadas clases de grafos) y en la informática teórica (por ejemplo, para las interpretaciones polinómicas para demostrar la terminación de los programas).

Answer 4

La teoría básica de las curvas es esencial para la teoría moderna de la comunicación, especialmente en la construcción de códigos de corrección de errores y criptosistemas de curva elíptica .

Answer 5

He aquí una aplicación del teorema de resolución de singularidades de Hironaka al análisis funcional. En 1963 I. M. Gelfand planteó el siguiente problema. Dado un polinomio $f$ en $\mathbb{R}^n$ . Para un parámetro complejo $\lambda$ el poder $|f|^\lambda$ es una función continua si $Re(\lambda)> 0$ . La pregunta de Gelfand era si $|f|^\lambda$ puede ser continuada meromórficamente en el parámetro $\lambda$ a todo el plano complejo como una función generalizada sobre $\mathbb{R}^n$ .

(Ejemplo: en $\mathbb{R}$ la continuación meromórfica de la función $|x|^\lambda$ a $\lambda=-1$ tiene un polo, y a $\lambda=-2$ es igual a $(ln|x|)''$ donde la segunda derivada se entiende en el sentido de funciones generalizadas).

Hasta donde yo sé, la primera solución positiva completa de este problema fue obtenida por J. Bernstein y S. Gelfand (1969) e independientemente por M. Atiyah (1970). Utilizaron la resolución de Hironaka de las singularidades de las variedades algebraicas. Este último resultado es puramente algebro-geométrico y muy difícil (Hironaka recibió la medalla Fields en 1970 por este resultado).

Permítanme mencionar también que en 1972 J. Bernstein inventó otro enfoque para demostrar el resultado anterior sin utilizar el teorema de Hironaka. Este enfoque también es puramente algebraico, véase http://www.math.tau.ac.il/~bernstei/Publication_list/publication_texts/Bern-a-cont-FAN.pdf Tiene grandes extensiones. El paso principal fue demostrar que existe un operador diferencial $D_\lambda$ cuyos coeficientes dependen polinómicamente de las coordenadas en $\mathbb{R}^n$ y racionalmente en $\lambda$ tal que $D_\lambda(|f|^{\lambda+1})=|f|^\lambda$ . Utilizando esta fórmula de forma recursiva, se extiende la distribución desde el semiplano $Re(\lambda)>0$ a todo el plano complejo.

Bernstein ha construido un módulo sobre el anillo de operadores diferenciales (el módulo tiene un generador formal $|f|^\lambda$ ) para lo cual tuvo que demostrar varias cosas, principalmente que es holonómico. Este método se convirtió en el más importante en la aproximación posterior de Bernstein a la teoría de los módulos D algebraicos.