Hechos de la geometría algebraica que son útiles para los geómetras no algebraicos

Question

Un profesor mío (un topólogo geométrico, creo) criticó una vez el plan de estudios básico de mi institución porque enseña todo tipo de álgebra esotérica, pero no incluye información básica sobre la teoría de Galois y la geometría algebraica, que, según él, son importantes incluso para los no algebristas.

¿Qué datos de la geometría algebraica son útiles para los geómetras no algebraicos? Lo ideal sería que los enunciados, al menos, fuesen accesibles sin saber mucha geometría algebraica.

Edición: Por favor, no publique resultados que sólo son relevantes para las personas que ya saben cantidades masivas de geometría algebraica de todos modos. En particular: Sé muy cauteloso a la hora de publicar afirmaciones cuya única aplicación sea la teoría de números.

Ejemplo: He aquí una afirmación básica que he visto aplicada fuera de la geometría algebraica, si no necesariamente fuera del álgebra:

Dejemos que $U \subset \mathbb{C}^n$ . Si existe algún polinomio no nulo que se cumple en cada punto de $\mathbb{C}^n \smallsetminus U$ entonces $U$ es denso en $\mathbb{C}^n$ (con la topología habitual), y de hecho contiene un subconjunto abierto denso de $\mathbb{C}^n$ .

[Boceto de la prueba: Dado un punto cualquiera $p \in \mathbb{C}^n$ , encontrar una línea compleja $L$ de paso $p$ que se cruza con $U$ . Entonces $L \cap (\mathbb{C}^n \smallsetminus U)$ es algebraico, por lo que sólo contiene un número finito de puntos de $L$ y así $p$ es un punto límite de $U$ .]

Answer 1

Yo votaría por el teorema de Chevalley como el hecho más básico de la geometría algebraica:

La imagen de un mapa construible es construible.

Más abajo, su caso más básico (que, creo, ya recoge el contenido esencial), es el siguiente: la imagen de un mapa polinómico $\mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$ , $z_1, \dots, z_n \mapsto f_1(\underline{z}), \dots, f_m(\underline{z})$ siempre puede describirse mediante un conjunto de ecuaciones polinómicas $g_1= \dots = g_k = 0$ combinado con un conjunto de ''desecuaciones'' polinómicas (*) $h_1 \neq 0, \dots, h_l \neq 0$ .

El puesto de David es un caso especial (si $m > n$ entonces la imagen no puede ser densa, por lo tanto $k > 0$ ). Tarski-Seidenberg es básicamente una versión del teorema de Chevalley en ''geometría real semialgebraica''. En términos más generales, yo diría que es la razón por la que los ingenieros compran a Cox, Little, O'Shea ("Using algebraic geometry"): en las coordenadas correctas, se pueden parametrizar las posibles configuraciones de un brazo robótico mediante polinomios. Entonces Chevalley dice que la posible configuración también puede describirse mediante ecuaciones.

(*) Realmente parece que "desigualdades" sería la palabra correcta para ella... aunque quizá sea un poco tarde para cambiar de terminología...

Answer 2

Si $p_1$ , $p_2$ , ..., $p_m$ son polinomios en $n$ variables, con $m>n$ entonces hay un polinomio $q$ tal que $q(p_1, p_2, \ldots, p_m)$ es idéntico a cero.

Answer 3

En la teoría clásica de las álgebras de Lie semisimples sobre los números complejos (y en otras partes de la teoría de Lie), es conveniente aplicar argumentos de densidad de Zariski fáciles para algunos espacios afines subyacentes. Por ejemplo, una prueba natural del teorema básico de Harish-Chandra sobre la estructura y los caracteres del centro del álgebra envolvente universal implica la restricción de funciones polinómicas del álgebra de Lie a una subálgebra de Cartan. Aquí la densidad de los elementos "regulares" permite centrarse sólo en su comportamiento. Del mismo modo, algunos teoremas clásicos de conjugación para las álgebras de Lie relativas a la acción del grupo adjunto son más fáciles de estudiar en términos geométricos. La cuestión es que los polinomios desempeñan un papel destacado, lo que hace que incluso las partes más elementales de la geometría algebraica sean útiles.

Answer 4

Toda superficie compacta de Riemann es proyectiva y algebraica.

Las superficies de Riemann se estudian en análisis y geometría diferencial, y por supuesto es más fácil trabajar con ecuaciones polinómicas. Esta afirmación es útil también para estudiar las superficies de Riemann no compactas.

Answer 5

El teorema de Tarski-Seidenberg afirma que si se proyecta un conjunto semialgebraico (es decir, dado por polinomios en/equivalentes) de $\mathbb{R}^{n+1}$ a $\mathbb{R}^{n}$ se obtiene otro conjunto semialgebraico. Esto fue utilizado por Lars Hormander (tal vez incluso antes por Lars Garding) en algunas aplicaciones espectaculares para caracterizar las propiedades de solvencia y regularidad de las EDP de coeficiente constante. Tengo entendido que el teorema TS tiene aplicaciones a la lógica, la teoría de modelos, el análisis funcional y otros campos, pero no tengo conocimiento directo de ellos, así que tal vez algún experto esté dispuesto a comentar.