Convergencia del producto de v.r. uniforme

Question

Digamos que tenemos n RV iid distribuidos uniformemente en (0,2). Sea $X_n = U_1U_2U_3\cdots U_n$ . ¿En cuál de los sentidos (casi seguro, en probabilidad, cuadrado medio, distribución) $X_n$ ¿converger?

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Sé que tengo que seguir la definición para cada uno de los tipos de convergencia y ver si $X_n$ se encuentra con ellos. Pero, ¿qué sustituyo por $X_n$ y $X$ en las definiciones? Por ejemplo, para la convergencia en probabilidad, $P(|X_n - X|>\epsilon) = 0$ como $n \to \infty$ .

¿Qué utilizaría para $X_n$ ? Para $X$ Normalmente utilizo los valores/distribuciones a los que espero que converja la secuencia, pero no tengo ni idea de cuál sería en este caso.

Answer 1

Puede ver que $(X_n)_{n\in\mathbb{N}}$ es una martingala porque $\mathbb{E}(X_{n+1}|\sigma(X_1,..,X_n)) = X_n\mathbb{E}(U_{n+1}) = X_n$ y esta martingala es positiva entonces convergen a.e. ( es.wikipedia.org/wiki/Doob%27s_martingale_convergence_theorems ) a una variable aleatoria $X_\infty$ (por tanto, también en la probabilidad). Usando eso $\mathbb{E}(U_n^2) = \frac{4}{3}$ puede demostrar que $X_n$ no converge en $L^2$ .