Esto es de Álgebra Lineal de Peter Lax, Capítulo 18. Si $A$ es una matriz autoadjunta, y si denotamos por $U$ la matriz cuyas columnas son sus vectores propios $$U = (u_1,\dots,u_n)$$ Si los valores propios correspondientes son $d_1, \dots, d_n$ entonces $A = UDU^T$ y $A^k = UD^kU^T$ . De esta fórmula se deduce que las columnas de $A^k$ son combinaciones lineales de los vectores propios de $A$ de la siguiente forma: $$b_1d_1^ku_1 + \cdots + b_nd_n^ku_n$$ donde $b_1, \dots, b_n$ no dependen de $k$ .
Ahora suponemos que los valores propios de $A$ son distintos y positivos, y ordenarlos de forma decreciente $$d_1 > d_2 > \dots > d_n > 0$$ De ello se desprende que siempre que $b_1 \neq 0$ la primera columna de $A^k$ está muy cerca de un múltiplo constante de $u_1$ .
No entiendo aquí por qué esto estaría cerca de un múltiplo de $u_1$ para grandes $k$ . Intuitivamente, tiene cierto sentido ya que para grandes potencias $k$ , $d_1^k$ debería dominar a los demás, pero no sé cómo formularlo con rigor.
