Encuentra el conjunto de números complejos tal que $Arg(\frac{z}{z-2}) = \frac{\pi}{4}$

Question

Me he quedado perplejo con la siguiente pregunta:

Encuentra el conjunto de números complejos $z\in\Bbb C$ tal que $$\operatorname{arg}\left(\frac{z}{z-2}\right) = \frac{\pi}{4}.$$

Creo que los números complejos, $z = x + iy$ con el argumento principal $\frac{\pi}{4}$ , todos tienen la propiedad $x = -y$ . Entonces me pierdo un poco.

Answer 1

En general, para $~w_1, w_2 \in \Bbb{C} ~: ~w_2 \neq 0,$
con $~\overline{w_2} = ~$ el complejo conjugado de $w_2$ ,
tienes que
$\displaystyle \frac{w_1}{w_2} = \frac{w_1 \times \overline{w_2}}{|w_2|^2}.$

Esto implica que

$\displaystyle ~\text{Arg}\left[\frac{w_1}{w_2}\right] ~= ~~\text{Arg}\left[w_1 \times \overline{w_2}\right].$

Set $z = x+ iy$ .

Entonces, debes tener esa

$\displaystyle ~\text{Arg}\left[(x + iy) \times (x - 2 - iy)\right] = \pi/4.$

Como una especie de atajo, si examina

Re $\left[(x + iy) \times (x - 2 - iy)\right]$ y
Soy $\left[(x + iy) \times (x - 2 - iy)\right]$

debes tener eso :

• La componente real es igual a la componente imaginaria y
• Ambos componentes son positivos.

El componente real es $(x^2 - 2x + y^2),$
mientras que la componente imaginaria es $-2y$ .

Así, se puede garantizar la 2ª restricción anterior (es decir, que ambos componentes sean positivos), basándose en la 1ª restricción, simplemente exigiendo que $y < 0$ .

Así, el problema se reduce a identificar todos los $(x,y) \in \Bbb{R^2}$ tal que

• $y < 0$ .
• $x^2 - 2x + y^2 = -2y.$

Editar
Originalmente, mi trabajo tenía un error aritmético, que corregí, y una simplificación (no puedo ver el bosque por los árboles) que pasé totalmente por alto.

Una vez que Charlotte me ha dejado un comentario (tras mi respuesta), he corregido mi respuesta y he encontrado ambos fallos.

La segunda restricción anterior puede reexpresarse como $(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 2.$