Consideremos el espacio vectorial de los polinomios de valor real de la potencia no mayor que 3

Question

Consideremos el espacio vectorial de los polinomios de valor real de la potencia no mayor que 3:

$P_3(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3$ :

(a) Escribe un conjunto de funciones que formen una base de este espacio vectorial.

No tengo ni idea de cómo hacerlo. ¿Puede alguien ayudarme?

Answer 1

Una pista: necesita cada función de la forma

\begin{align*} P(x) &= a_0 + a_1x + a_2x^2 + a_3x^3 \\ &= a_0x^0 + a_1x^1 + a_2x^2 + a_3x^3. \end{align*}

escrito en la forma

$$P(x) = a_0 P_0(x) + a_1 P_1(x) + a_2 P_2(x) + a_3 P_3(x),$$

donde $P_k(x)$ , $k=0,\dots,3$ son los polinomios que se buscan, y $a_k \in \mathbb{R}$ , $k=0,\dots,3$ se dan escalares que definen $P(x)$ .

Una pista más: puede elegir cada $P_k$ sea un polinomio de grado $k$ .