Acción de $GL(\Bbb F_2^3)$ en los subespacios de $\Bbb F_2^3$ de dimensión $2$

Question

Dejemos que $V=\Bbb F_2^3$ y que $G=GL(V)$ actuar con naturalidad en el plató $X=\{W\subset V:\text{sub-vector space,}\dim =2\}$

Si $W\in X$ ¿cómo se determina el $Stab_G(W)$ y por qué la cardinalidad de $Stab_G(W)$ ser el mismo para diferentes $W$ 's?

Si queremos demostrar que la acción es transitiva por qué basta con comprobar que existe una matriz que envía $e_1$ a $u$ , $e_2$ a $v$ y $e_3$ a $e_3$ para vectores arbitrarios linealmente independientes $u,v$ ?

Answer 1

Para demostrar la transitividad bastaría con comprobar que existe una matriz que envía $e_1$ a $u$ , $e_2$ a $v$ y $e_3$ a $e_3$ para vectores arbitrarios linealmente independientes $u,v$ pero, desgraciadamente, esa matriz no siempre existe. Al fin y al cabo, los vectores $u$ , $v$ y $e_3$ puede ser linealmente dependiente.

Afortunadamente, ya es suficiente demostrar que para cada par de vectores linealmente independientes $u,v\in V$ existe una matriz en $G$ que mapea $e_1$ a $u$ y $e_2$ a $v$ . Esto implicaría que los hiperplanos $\operatorname{span}(e_1,e_2)$ y $\operatorname{span}(u,v)$ están en la misma órbita bajo la acción de $G$ y, por tanto, que todos los hiperplanos están en la misma órbita, es decir, que la acción es transitiva.

Es un hecho básico (o un simple ejercicio) sobre las acciones de grupo que los elementos de un mismo $G$ -tienen estabilizadores conjugados; en particular, sus estabilizadores tienen la misma cardinalidad.

Answer 2

Su pregunta sobre la transitividad ha sido respondida en los comentarios, pero con respecto a su pregunta sobre $\operatorname{Stab}_{G}(W)$ para $W$ un subespacio bidimensional de $V$ . Nótese que como tenemos transitividad, $\operatorname{Stab}_{G}(W) \cong \operatorname{Stab}_{G}(W')$ para cualquier par $W,W' \in X$ . En efecto, supongamos que $W, W' \in X$ . Entonces, por transitividad, existe $g \in G$ tal que $gW = W'$ . Supongamos ahora que $h \in \operatorname{Stab}_{G}(W')$ entonces $h\cdot w' \in w'$ por cada $w' \in W'$ y así $(hg) \cdot w \in W'$ por cada $w \in W$ y así, finalmente $(g^{-1}hg)\cdot w \in W$ por cada $w \in W$ . Esto debería dejar claro que el mapa $\operatorname{Stab}_{G}(W') \rightarrow \operatorname{Stab}_{G}(W)$ tal que $h \mapsto g^{-1}hg$ es un isomorfismo. Por lo tanto, los estabilizadores de pares de elementos de $X$ tienen la misma cardinalidad, por lo que el estabilizador de todos los elementos de $X$ deben tener la misma cardinalidad.

Obsérvese que lo anterior también nos permite calcular $\operatorname{Stab}_{G}(W)$ para cualquier $W$ calculando $\operatorname{Stab}_{G}(W)$ para nuestro subespacio favorito $W = \left< e_1, e_2 \right> \subseteq V$ . Debería ser fácil ver que para este $W$ tenemos

$$ \operatorname{Stab}_{G}(W) = \left\{ \begin{pmatrix} a & b & p \\ c & d & q \\ 0 & 0 & r \end{pmatrix} : ad - bc \neq 0, r \neq 0 \right\} $$

y así

$$ \left|\operatorname{Stab}_{G}(W) \right| = \left| \operatorname{GL}_{2}\left(\mathbb{F}_2 \right)\right|\left|\mathbb{F}_2^{\times} \right|\left| \mathbb{F}_2 \right|^{2} = 4\left| \operatorname{GL}_{2}\left(\mathbb{F}_2 \right)\right| = 4\cdot 6 = 24 $$