¿Anillo Dedekind-finito (los invertibles de la derecha son invertibles de la izquierda) diferente del anillo que los invertibles de la izquierda son invertibles de la derecha?

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo unital s.t. $R$ es dedekind finito (es decir, (1) Si $a$ es invertible a la derecha, entonces $a$ es invertible a la izquierda).

Considere (2) Si $a$ es invertible a la izquierda, entonces $a$ es invertible a la derecha.

No veo ninguna buena razón para que $(1)\implies (2)$ o $(2)\implies (1)$ . Por supuesto, si un elemento tiene inversa izquierda y derecha, entonces la inversa coincide.

$\textbf{Q:}$ Son $(1)$ y $(2)$ ¿equivalente? El libro define $R$ dedekind finito si $a$ derecho invertible $\implies a$ invertible a la izquierda. ¿Y si cambio la izquierda por la derecha diciendo $a$ se deja invertble $\implies a$ derecho invertible. ¿Por qué prefiero la definición de dedekind finito a (2)?

Ref: A first course in non-commutative rings by T.Y.Lam Chpt 1.

Answer 1

Mostremos (1) => (2), ya que el otro sentido se sigue por simetría.

Supongamos que $ba=1$ para algunos $b$ . Entonces $b$ es invertible a la derecha, y por (1), también invertible a la izquierda. Pero entonces $a$ es también la inversa izquierda de $b$ . (Por el argumento habitual de la unicidad de la inversa: si $cb=1$ entonces $c=c(ba)=(cb)a=a$ .) Por lo tanto, $ab=1$ y $a$ también es invertible a la derecha.