Significado de $\nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf p, h)$ en PBF

Question

Estoy leyendo este documento sobre los fluidos basados en la posición y no pude entender el significado de $\nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf{ p_i - p_j}, h)$ en la ecuación 7 (véase más adelante).

el gradiente de la función de restricción (1) con respecto a una partícula k viene dada por: $\;\;\;\nabla_{\mathbf{p}_k} C_i(\mathbf p_1, \mathbf p_2, \ldots, \mathbf p_n) = \frac{1}{\rho_0} \sum\limits_j \nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf p_i - \mathbf p_j, h )$

Entiendo el lado izquierdo de la ecuación - es $\nabla_{\mathbf{p}_k} C_i = \begin{bmatrix}\frac{\partial C_i}{\partial \mathbf{p}_{k_X}} & \frac{\partial C_i}{\partial \mathbf{p}_{k_Y}} & \frac{\partial C_i}{\partial \mathbf{p}_{k_Z}}\end{bmatrix}$ . Sin embargo, no puedo entender la parte derecha - la función $W$ se define (AFAIK) como $W\colon \mathbb R^{n+1} \to \mathbb R$ , lo que significa que toma un $n-$ vector dimensional y un escalar como entradas y produce un escalar.

No entiendo qué hace la notación $\nabla_{\mathbf{p}_k}W$ en particular, por qué existe el subíndice $\mathbf{p}_k$ - la función $W$ no toma $n$ vectores como entrada, como el $C_i$ por lo que no se puede diferenciar con respecto a $\mathbf{p}_k$ (sólo puede ser a su primer parámetro -vectorial- y a su segundo parámetro -escalar-).

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Editar: Olvidé mencionar que $C_i\colon \mathbb R^{3n} \to \mathbb R$ .

Answer 1

La cuestión es que hay varios $W$ 's.

$$\rho_i=\sum_j W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_j,h)=W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_1,h)+W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_2,h)+\ldots$$ dejando caer la masa como lo hacen en el papel.

La cuestión es que tratan las partículas como indistinguibles, por ejemplo, todas tienen la misma masa, por lo que la forma de las funciones/restricciones que se les aplica es la misma. Así que hay tan $W_j$ ya que como función $W_j=W_i$ excepto por sus argumentos. Es como $\sin(x)$ y $\sin(y)$ por ejemplo, misma forma funcional pero diferente argumento. Como ejemplo, tomemos $W(\cdot_1,\cdot_2)=W(\cdot_1 -\cdot_2)=\|\cdot_1-\cdot_2\|$ $$C_i(\mathbf{p}_1,\mathbf{p}_2,\mathbf{p}_3)=\sum_j W(\mathbf{p}_i,\mathbf{p}_j)=\|\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_1\|+\|\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_2\|+\|\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_3\|$$

Dicen que $$C_i=\frac{\rho_i}{\rho_0}-1=\frac{1}{\rho_0}\sum_j W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_j,h) -1$$

Así, $$\nabla_{\mathbf{p}_k}C_i=\frac{1}{\rho_0}\sum_j \nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_j,h)$$

Las derivadas serán simplemente cero si no hay dependencia de $\mathbf{p}_k$ . Usted ve que tiene varios $\mathbf{p}$ y se tratan como parámetros independientes, como si tuvieras partículas $1$ y $2$ sus coordenadas $\mathbf{r}_1$ , $\mathbf{r}_2$ y los gradientes con respecto a sus posiciones $\nabla_1$ y $\nabla_2 $ .

Esto se subraya cuando escriben $$\nabla_{\mathbf{p}_k}C_i=\frac{1}{\rho_0}\begin{cases} \sum_j \nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_j,h) \quad \text{ if } k=i\\ - \nabla_{\mathbf{p}_k} W(\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_j,h) \quad \text{ if } k=j \end{cases}$$

La idea es que si $k=i$ entonces cada $W$ depende de $\mathbf{p}_i$ pero si $k=j$ para un caso concreto $j$ entonces sólo ese término de la suma es distinto de cero después de diferenciar. El signo menos es de la regla de la cadena, ya que es $\mathbf{p}_i-\mathbf{p}_j$ .