Relación entre la división de polinomios y la derivada

Question

$P(x)$ es un polinomio y es igual a $2x^3 + 2ax^2 +bx +c$ . Se da que $P(x)$ se puede dividir por $(x-1)^3$ con resto cero. Entonces, ¿qué es $c$ ?

Esta es una pregunta básica de polinomios, para llegar a la solución utilizamos la derivada como atajo. Por ejemplo, encontramos $P(1) ,P'(1),P''(1)$ respectivamente. Entonces la respuesta es $2$ ..

Mi pregunta es por qué usamos la derivada, no pude concebir la razón detrás del uso de la derivada. En primer lugar, pensé que si $(x-1)^3$ divide $P(x)$ entonces $(x-1)^2$ y $(x-1)$ divide $P(x)$ también. Sin embargo, no pude ver ninguna relación con el derivado. ¿Pueden iluminarme?

Answer 1

Eso es mucho más fácil de resolver. Como grado de $P$ es $3$ $P$ debe ser un múltiplo constante de $(x-1)^3$ . El coeficiente de plomo nos da que este factor constante es $2$ y por lo tanto $c=2(-1)^3 = -2$ .

Pero para su pregunta: Puedes probar fácilmente que $x_0$ sólo es una raíz doble de un polinomio si también es una raíz de la derivada, y más en general, $x_0$ es una raíz con muliplicidad $n$ si y sólo si es una raíz de la derivada de multiplicidad $n-1$ .

Así, $x-1$ debe ser también una raíz de $P'$ y de $P''$ . Esto significa que $c$ tiene que ser elegido de tal manera, que $(x-1)$ es un factor común de $P,P',P''$ .

Si elegimos $x=1$ entonces $(x-1)=0$ Así que $$ 0=P(1) = 2+2a+b+c$$ $$ 0=P'(1) = 6+4a+b $$ $$ 0=P''(1) = 12+4a $$ Ahora podrías resolver este sistema, es decir $a=-3$ , $b=6$ , $c=-2$ .

Answer 2

Así que, para todos $x$ tenemos $$2x^3 + 2ax^2 +bx +c =k(x-1)^3\;\;\;\;\;\;(\spadesuit)$$ para alguna constatnt $k$ . Claramente vemos que si ponemos en él $x=1$ obtenemos $$2+2a+b+c =0$$ Ahora veamos qué ocurre si tomamos la derivada de $(\spadesuit)$ obtenemos:

$$6x^2+4ax+b = 3k(x-1)^2\;\;\;\; (\diamondsuit)$$ que también es válida para todos los $x$ Así, en particular, para $x=1$ nos encontramos con que:

$$6+4a+b=0$$ y por última vez, si volvemos a tomar la derivada de $(\diamondsuit)$ nos encontramos con que: $$12x+4a=6k(x-1)$$ que vuelve a ser válida para todos los $x$ y por lo tanto también para $x=1$ ...

Answer 3

Supongamos un cero de orden $p$ para la función $f(x)$ .

Esto implica que podemos escribir $f(x) = (x-x_0)^pg(x)$

Ahora, mira la derivada. $f'(x) = p(x-x_0)^{p-1}g(x) + (x-x_0)^pg'(x)$

Para $p=2$ vemos que el segundo orden cero resultará en $f'(x=x_0)=0$ . Se puede repetir la misma lógica para los ceros de orden superior.