Demostración de la Nullstellensatz para ideales homogéneos

Question

Me gustaría probar lo siguiente:

Si $\mathfrak{a} \subseteq k[x_0, \ldots, x_n]$ es un ideal homogéneo, y si $f \in k[x_0,\ldots,x_n]$ es un polinomio homogéneo con $\mathrm{deg} \ f > 0$ , de tal manera que $f(P) = 0 $ para todos $P \in Z(\mathfrak{a})$ en $\mathbb P^n$ entonces $f^q \in \mathfrak{a}$ para algunos $ q > 0$ .

Me han dado la pista: interpretar el problema en términos de la afinidad ( $n+1$ )-espacio cuyo anillo de coordenadas afín es $k[x_0,\ldots,x_n]$ y utilizar el Nullstellensatz habitual.

---

No estoy muy seguro de lo que significa la pista. Tenemos el isomorfismo $k[x_0,...,x_n] \cong k[x_0,...,x_n] / I(\mathbb A_k^{n+1})$ (ya que $I(\mathbb A^{n+1}) = I(Z(0)) = 0$ ). Pero no veo cómo esto es útil en absoluto, ni estoy seguro de que esto es lo que significa la pista.

Cualquier ayuda será muy apreciada. Gracias

Answer 1

Considere $V(\mathfrak a)\subset \mathbb A^{n+1}(k)=k^{n+1}$ el cono en afín $n+1$ espacio definido por el ideal $\mathfrak a$ .
Su polinomio $f$ se desvanecerá en $V(\mathfrak a)$ porque eso es exactamente lo que significa que se desvanece en $Z(\mathfrak a)$ (ver más abajo)
La Nullstellensatz habitual implica entonces que $f^q\in \mathfrak a$ para algunos $q\gt 0 $ .

NB Dado un punto $P=[a_0:a_1:...:a_n]\in \mathbb P^n (k)$ no se puede definir el valor de $f$ en $P$ La expresión $f(P)$ no tiene sentido.
Lo que tiene sentido es decir que $f=0 $ en la línea $k\cdot (a_0,a_1,...,a_n)\subset k^{n+1}$ .
A continuación, se escribe $f(P)=0$ aunque $f(P)$ ¡no está definido!
Así que decir que $f$ se desvanece en $Z(\mathfrak a)$ realmente significa que $f$ se desvanece en $V(\mathfrak a)$ por definición .

Answer 2

$\bf Hint:$ Dejemos que $\overline Z(\mathfrak a)=\{p\in \mathbb A^{n+1}:\forall g\in\mathfrak a \ (g(p)=0)\}$ (la variedad afín determinada por $\mathfrak a$ ). Tenga en cuenta que $f\in \overline Z(\mathfrak a)$ y aplicar el Nullstellensatz estándar.