Si, en un espacio métrico, todo subconjunto acotado es finito, ¿implica eso que la topología es la topología discreta? Si no es así, ¿qué otras condiciones son necesarias para garantizarlo?
Me encontré con el problema mientras leía una prueba del hecho de que $log (O_K^×) $ para un campo numérico $K$ es un subgrupo discreto.
Sí. Deja que $x$ sea un elemento cualquiera y considere $B(x,1)$ . Esta bola está acotada, por lo que es finita. Sea $\{x_1,x_2,...,x_n\}$ sean los puntos de este conjunto que excluyen $x$ sí mismo. Dejemos que $r$ sea el mínimo de $d(x,x_i), 1\leq i \leq n$ . Entonces $B(x,r)=\{x\}$ . esto demuestra que todo conjunto unicolor es abierto. Por lo tanto la topoogía es discreta.
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