Intersección de segmentos en $\mathbf{R}^{k}$

Question

Dejemos que $A$ sea un conjunto compuesto por un número par $n$ de puntos distintos en $\mathbf{R}^{k}$ , de manera que 3 puntos cualesquiera de $A$ son no colineales en $\mathbf{R}^{k}$ . Consideremos el conjunto $P_{2}(A)$ de particiones de $A$ cuyos elementos son pares de puntos en $A$ .

Fijar una partición $\Omega\in P_{2}(A)$ . Tome $(i,j)\in \Omega $ y considerar el segmento que une $(i,j)$ . Entonces generamos $\frac{n}{2}$ segmentos para cada $\Omega$ . Sea $P^{*}_{2}(A)\subset P_{2}(A)$ sea un subconjunto de particiones tal que el $\frac{n}{2}$ tienen un punto de intersección en $\mathbf{R}^{k}$ .

¿Es el subconjunto $P^{*}_{2}(A)$ reducido a lo sumo a una única partición? Si es así, ¿alguna idea sobre una prueba sencilla?

P.D. Si $k=2$ el resultado parece ser bastante intuitivo. El resultado parece ser cierto para cualquier cardinalidad de $A$ y para dimensiones superiores $k>2$ . Esta pregunta está relacionada con un post similar al mío Incluso es diferente.

Answer 1

En los comentarios se ha dado una respuesta completa. Es (casi) exactamente el mismo argumento que en el hilo enlazado, así que el único propósito de escribir esta "respuesta" es eliminar la pregunta de la lista de "Sin respuesta". Lo vuelvo a escribir aquí para comodidad del lector:

1) Basta con hacer el caso plano, ya que podemos proyectar cualquier configuración mala de dimensión superior mediante una proyección plana genérica.

2) La unicidad (en el plano) se mantiene exactamente por la misma razón que antes, incluso con las intersecciones por pares: elige un punto $A$ en la frontera del casco convexo de los puntos dados. Su punto de coincidencia $B$ debe satisfacer la propiedad de que la línea $(AB)$ divide el conjunto en dos partes de la misma cardinalidad. Tal $B$ es único, por lo que se conoce un segmento. Se procede por inducción.