Definir un $S_n$ -polinomio invariable $f$ de $\mathbb{Z}[x_1,\cdots, x_n]$ para que $f(x_1,\cdots, x_n) = f(x_{\sigma(1)},\cdots, x_{\sigma(n)})$ para cualquier permutación $\sigma\in S_n$ el conjunto de permutaciones de $\{1,\cdots, n\}$ a $\{1,\cdots, n\}$ . Demuestre que si el grado total (es decir, la suma máxima de exponentes de un solo término) de un $S_n$ -polinomio invariable $f(x_1,\cdots, x_n)$ en n variables es menor o igual que el número de variables, entonces la expresión para $f(x_1,\cdots, x_{n-1},0)$ en términos de $s_i(x_1,\cdots, x_{n-1})$ da la fórmula correcta para $f(x_1,\cdots, x_n)$ en términos de $s_i(x_1,\cdots, x_n)$ , donde $s_j := \sum_{1\leq i_1<i_2<\cdots < i_j\leq n} x_{i_1}\cdots x_{i_j}$ es el jº polinomio simétrico elemental.
Sé que los polinomios irreducibles son primos (es decir, si $p$ es irreducible y $ p | fg$ para los polinomios $f,g, p | f $ o $p | g$ ). Esencialmente, necesito demostrar que si $f(x_1,\cdots, x_{n-1}, 0) = P(s_1(x_1,\cdots, x_{n-1}),\cdots, s_{n-1}(x_1,\cdots, x_{n-1}))$ para algún polinomio $P$ entonces $f(x_1,\cdots, x_n) = P(s_1(x_1,\cdots, x_n),\cdots, s_{n-1}(x_1,\cdots, x_n))$ . Claramente $s_i(x_1,\cdots, x_{n-1}, 0) = s_i(x_1,\cdots, x_{n-1})$ para cualquier $1\leq i < n$ . Así que $P(s_1(x_1,\cdots, 0),\cdots, s_{n-1}(x_1,\cdots, 0) )= P(s_1(x_1,\cdots, x_{n-1}),\cdots, s_{n-1}(x_1,\cdots, x_{n-1})).$ Sabemos que $f(x_1,\cdots, x_n) - f(x_1,\cdots, x_{n-1},0)$ da la suma de los términos de $f$ que contiene $x_n$ . Pero, ¿cómo puedo utilizar la afirmación sobre el grado total para mostrar el resultado requerido?
