Valores especiales de $p$ -adic $L$ -funciones.

Question

Esta es una pregunta muy ingenua en realidad, y quizás la respuesta sea conocida. En otras palabras, ADVERTENCIA: un no experto escribe.

Tengo entendido que hoy en día existen conjeturas que predicen esencialmente (quizás hasta un signo) el valor $L(M,n)$ , donde $M$ es un motivo, $L$ es su $L$ -función, y $n$ es un número entero. Mi comprensión de la historia es que (excluyendo los trabajos clásicos sobre motivos de rango 1 de antes de la guerra) Deligne se dio cuenta de cómo unificar los resultados conocidos sobre $L$ -de campos numéricos y la conjetura B-SD, en su documento de Corvallis, donde hizo predicciones de $L(M,n)$ pero sólo hasta un número racional y sólo para $n$ crítico. Entonces Beilinson extendió estas conjeturas para predecir $L(M,n)$ (o tal vez su término principal si hay un cero o un polo) hasta un número racional, y luego Bloch y Kato pasaron a clavar el número racional.

Hoy en día, sin embargo, muchos motivos han $p$ -adic $L$ -(los ejemplos de juguete son los campos numéricos y las curvas elípticas sobre $\mathbf{Q}$ (tal vez los mismos ejemplos que inspiraron a Deligne), y estos $p$ -adic $L$ -Las funciones de la función de interpolación suelen ser las clásicas $L$ -a valores críticos, pero la relación entre las $p$ -adica y clásica $L$ -la función es (en mi opinión) mucho más tenue lejos de estos puntos (aunque creo haber visto algunas fórmulas para $p$ -funciones zeta adicas en $s=0$ y $s=1$ que se parecen a las fórmulas clásicas relacionadas con los invariantes aritméticos del campo numérico).

Así que, por supuesto, mi pregunta es: ¿hay alguna conjetura que prediga el valor de $L_p(M,n)$ , para $n$ un número entero, y $L_p$ el $p$ -adic $L$ -¿función de un motivo? Por supuesto, esa pregunta apenas tiene sentido, así que he aquí una más concreta: ¿se puede hacer una conjetura diciendo qué $\zeta_p(n)$ debe ser (quizás hasta un elemento de $\mathbf{Q}^\times$ ) para un número entero $n\geq2$ y $\zeta_p(s)$ el $p$ -adic $\zeta$ -¿Función? Lo que yo entiendo de la teoría de Iwasawa es que en realidad sólo te daría información sobre los lugares donde $\zeta_p(s)$ desaparece, y no sobre los valores reales---La teoría de Iwasawa se ocupa típicamente sólo del ideal generado por la función (hasta donde yo sé). También, por lo que sé, $p$ -adic $L$ -no se espera que tengan ecuaciones funcionales, por lo que el hecho de que entendamos $\zeta_p(s)$ para $s$ un entero negativo no nos dice, que yo sepa, nada sobre sus valores en enteros positivos.

Answer 1

Me gustaría escribir una respuesta mejor, pero debo ser breve.

Por ahora, permítanme ofrecerles algunos lugares para leer. Resumiendo, se predice que hay una relación entre los valores especiales de $p$ -adic $L$ -y los reguladores sintómicos (que son el análogo de los reguladores de Beilinson en el $p$ -mundo de los radicales).

1. La hermosa papel de Manfred Kolster y Thong Nguyen Quong Do es, en mi opinión, un recurso muy legible.

2. Los mejores resultados que conozco en este sentido son los trabajos de Besser aquí y aquí que utilizan la cohomología sintomática rígida.

3. Charla general de Besser en la conferencia de Loen (notas disponibles aquí ) fue una verdadera alegría.

Answer 2

En realidad, p -adic L -se espera que satisfagan ecuaciones funcionales compatibles con las clásicas. Para M un motivo ordinario, Coates y Perrin-Riou conjeturaron la propiedad de interpolación en enteros críticos y la ecuación funcional esperada en algunos trabajos de principios de los noventa (véase, por ejemplo este ). En particular, el Kubota-Leopoldt p -adic L -las funciones interpolan todo valores críticos de la clásica Dirichlet L -funciones (hasta un punto y un múltiplo). Para las formas modulares, Mazur-Tate-Teitelbaum, en su artículo de 1986) demuestran una p -adica en la sección 17. De hecho, la ecuación de dos variables p -adic L -de una familia ordinaria de formas modulares satisface una ecuación funcional de dos variables que interpola la ecuación funcional de una variable en cada peso (véase, por ejemplo, el artículo de Greenberg-Stevens sobre las invenciones) (pondría más enlaces de mathscinet pero parece que no funciona...).

En cuanto a los valores del p -adic L -en enteros no críticos, eso es mucho más misterioso. Rubin tiene un cálculo fuera de los puntos críticos para una curva elíptica CM en la sección 3.3 de su documento en el " p -monodromía de la adicción y procedimientos BSD". Creo que he visto otros casos, pero en general se necesita mucho esfuerzo, creo.

(Además, respecto a la preocupación de la teoría de Iwasawa por los valores de L -es cierto que la Conjetura Principal es sólo una igualdad de ideales en algún anillo de series de potencias, pero todavía se puede esperar construir p -adic L -funciones en el lado analítico que hacen un buen trabajo al interpolar, digamos hasta un p -unidad de los radicales).

Answer 3

Aquí hay un buen artículo expositivo de Colmez sobre las conjeturas de Perrin-Riou:

http://people.math.jussieu.fr/~colmez/851bourbaki.pdf

Answer 4

Otros lo han insinuado, pero permítanme subrayar el punto. Por lo menos, si usted está feliz de asumir todas las conjeturas (y tal vez que su motivo tiene buena reducción en $p$ ), el paisaje conjetural para $p$ -adic $L$ -es tan completa como la de las funciones habituales $L$ -funciones. A saber: hay una descripción conjetural del valor de la función ciclotómica $p$ -adic $L$ -en cualquier número entero (de hecho, cualquier carácter $\eta\chi_{cyc}^{s}$ con $\eta$ finito).

Esto puede hacerse en el estilo de B.Perrin-Riou, ver Fonctions $L$ $p$ -adiques des représentations $p$ -adiques, o al estilo de K.Kato, en cuyo caso se deduce de las conjeturas sobre valores especiales de $L$ -teniendo en cuenta la acción de un álgebra de grupo (las llamadas conjeturas equivariantes). De hecho, exagero ligeramente: en algunos valores especiales, podría haber un cero excepcional, en cuyo caso el término principal debería incorporar un $\mathcal{L}$ -invariante, y no creo que esto haya sido definido (conjeturalmente) con toda generalidad.

Además, como escribió Rob H, $p$ -adic $L$ -se espera que satisfaga una ecuación funcional. Esto puede verse bien a partir de la construcción conjetural de Perrin-Riou a partir de elementos motivacionales, en cuyo caso la ecuación funcional se deduce de la ley de reciprocidad explícita de Perrin-Riou (y Colmez en el caso de Rham), o bien a través de la conjetura principal de Iwasawa, en cuyo caso se deduce de los resultados de dualidad para los complejos de cohomología.

Así que todo lo que puedas desear es conjetura. No se sabe mucho, por supuesto, en realidad.