Hace una cosa parecida a un polinomio de $\mathbb N\to \mathbb N$ siempre tiene coeficientes en los racionales $\mathbb Q$ ?

Question

Si $f(n) = a_k(n) n^k+\dots+a_1(n)n+a_0(n)$ es una función $\mathbb N\to \mathbb N$ con $a_1,\dots, a_k\colon\mathbb N\to\mathbb R$ ¿se deduce que estas funciones $a_i$ son funciones $\mathbb N\to \mathbb Q$ ¿con lo que quiero decir que sólo toman valores racionales?

Answer 1

La respuesta es "No". Generalizando el comentario de @dxiv:

Dejemos que $g$ sea una función arbitraria $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ y $a_0, a_1, ... a_{k-1}$ sean funciones arbitrarias $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ .

Definir $$ a_k(n) = \frac{ g(n) - a_0(n) - a_1(n)n .... - a_{k-1}(n)n^{k-1}}{n^k}$$

Entonces, si conectas $a_0, a_1 ... a_k$ en su fórmula definiendo $f(n)$ se obtiene $f$ es su función arbitraria $g$ .

Así que no importa cuál sea su $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}$ es, puede dejar que su $\{a_i(n)\}_{i=0}^{k-1}$ sea $\sin(n)$ , $e^n$ o cualquier otra función trascendental fea, y todavía puedes expresar tu función original de la manera que pediste.

(Esta definición de $a_k$ en $n = 0$ pero siempre y cuando $g(0) = a_0(0)$ podemos dejar que el valor de $a_k$ en $0$ sea arbitrario y todo siga funcionando).

Answer 2

No necesariamente. Déjalo, $n=1$ y $a_1(1)=\sqrt{2}$ y $a_2(1)=-\sqrt{2}$ , mientras que, $a_i(1) \in \mathbb{N}$ para $i \neq 1,2$ y $a_i(n) \in \mathbb{N}$ para $n \neq 1$ para simplificar. Entonces, todavía $f(1) \in \mathbb{N}$ .