Ramificación en una torre de extensiones

Question

Estoy tratando de hacer sentido de todos estos teoremas relacionados con la ramificación. Estaba esperando que alguien sería un resumen de estos resultados. Supongamos que tenemos:

1. Una extensión de $L/K$ y algunos subextensions $E_1,\ldots,E_k$ sentado en el medio (sin necesariamente tener $E_i\leq E_j$ o viceversa para los pares).

2. ¿Y si algunas de estas extensiones de Galois?

Me pregunto cuál es la ramificación de un prime en $L/K$ nos dice acerca de la ramificación de la $E_i/K$ o $L/E_i$ y viceversa? ¿Cuánto podemos precisar donde la ramificación tiene que ser en estos subextensions o hacemos siempre tiene que calcular discriminantes?

También estoy tratando de averiguar cómo calcular Hilbert campos de la clase. Esta es la razón por la que estoy interesado en cómo dio algunas campo $K/\mathbb{Q}$ I debe ir sobre encontrar un campo de $L/K$ que mata a todos los ramificación? Yo debería ser capaz de alguna manera de averiguar lo que está permitido a ramificarse en $L/\mathbb{Q}$?

EDIT: Este es un argumento que yo no entiendo. Hilbert Campo de la Clase de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$$\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{-1})$. He aquí el argumento estándar:

$\mathbb{Q}(\sqrt{5})/\mathbb{Q}$ es unramified fuera de 5 y $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})/\mathbb{Q}$ es unramified fuera de 2. Por lo tanto, $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{-1})/\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ es unramified en todas partes.

¿Por qué no puede haber un poco de flor de la $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ que ramifies y ramifies encima de las otras dos extensiones?

Answer 1

La ramificación índice multiplicativo en las torres. Que es:

Si $K\subseteq E\subseteq L$ es una torre de extensiones, $P$ es una de las principales en $K$, $Q$ es una de las principales en $E$$Q\cap K=P$, e $Q'$ es una de las principales en $L$$Q'\cap E=Q$, dejando $e(Q|P)$ ser la ramificación índice de $Q$ más de $P$, $e(Q'|Q)$ la ramificación índice de $Q'$$Q$, e $e(Q'|P)$ el índice de ramificación de $Q'$$P$, hemos de tener $$e(Q'|P) = e(Q'|Q)e(Q|P).$$ A ver, que hacer la factorización: si factor de $P$ a de los números primos en $E$, $Q$ se produce con exponente $e(Q|P)$; luego nos factor en $L$, el exponente de $Q'$ será su exponente en la factorización de $Q$, $e(Q'|Q)$, veces el exponente al que se $Q$ se produce en la de $P$, $e(Q|P)$, desde $(\mathfrak{P}^a)^b = \mathfrak{P}^{ab}$.

Si todas las extensiones de Galois (es decir, $L$ $E$ son tanto Galois sobre $K$), el índice de ramificación sólo depende de $P$ e no $Q$ o $Q'$, pero aún así es multiplicativo, pero aquí se obtiene la información adicional que el índice de ramificación divide también a la orden de la extensión.

Toda esa información puede darle suficiente influencia para determinar el índice de ramificación en $E_i/K$ en algunas circunstancias (si usted sabe, la ramificación en $L/K$, entonces el multiplicativity significa que conociendo el índice en $E_i/K$ es equivalente a conocer en $L/E_i$). Pero puede que no. Por ejemplo, si usted tiene un biquadratic extensión de $L/K$ cuyo grupo de Galois es el Klein $4$-grupo, con un primer $P$ que ha ramificación índice $2$, luego por los dos intermedios campos $E_1$ $E_2$ usted podría tener que $P$ ya ramifies en $E_1$, pero el índice de ramificación en $L/E_1$$1$; o la otra manera alrededor.

Añadido. Para responder a su pregunta final, sin referencia a los discriminantes:

No racionales prime puede tener grado de ramificación $4$$K=\mathbb{Q}(\sqrt{-5},\sqrt{-1})$: que requeriría que se ramifican en tanto $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ y en $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$ por el multiplicativity de la ramificación de grado, pero no el primer ramifies en ambos. Por lo que el grado de ramificación de cualquier ramificado racional prime es $2$.

Vamos $L_1 = \mathbb{Q}(\sqrt{5})$, $L_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, $L_3=\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$. Estos son todos los intermedios campos de la extensión.

Deje $p$ ser una de las primeras que ramifies en $K$. Deje $Q$ ser una de las primeras de $K$ se encuentra por encima del $p$, y deje $P_i$ ser el primer de $L_i$ acostado en $Q$. Si $I_p$ es la inercia del grupo de $p$, e $L_i$ es el campo fijo de $I_p$,$e(Q|P_i) = e(Q|p) = 2$, e $e(Q|P_j)=1$$j\neq i$. De nuevo, multiplicativity de la ramificación le dice que $p$, se tendrían que ramifican en tanto los "otros dos" subextensions.

En particular, si $L_i = L_2 = \mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ (por que es una de las principales de $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ que ramifies en $K$), $p$ a ramificarse en tanto $\mathbb{Q}(\sqrt{5})$ y en $\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$. Pero no racional primer ramifies en ambas; por lo tanto, nunca tenemos el campo fijo de $I_p$ igual a $\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$, lo que significa que $K/\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ debe ser unramified en todas partes, como se reivindica.

Answer 2

$ \newcommand{\fp}{{\mathfrak p}} \newcommand{\fP}{{\mathfrak P}} $ La ramificación en el intermedio de los campos es un poco delicado (puramente grupo teórico) problema. En primer lugar, asumir, sin pérdida de generalidad que $L/K$ es de Galois con grupo de Galois $G$, de lo contrario pase a la Galois de cierre y repita el siguiente argumento para $L$ siendo el intermedio de campo.

Supongamos que usted tiene un prime $\fp$ $K$ con el primer $\fP$ $L$ está por encima $\fp$. Deje $D=D_{\fP/\fp}$ ser la descomposición del grupo, es decir, el subgrupo de $G$ compuesto de elementos que fijan el lugar de $\fP$. Dentro de esto, usted tiene la inercia de los subgrupos $I=I_{\fP/\fp}$. Recordemos que el índice de $D$ $G$ es el número de números primos en $L$ está por encima $\fp$, e $|I|$ es el índice de ramificación de $\fP/\fp$. El residuo de campo grado es el índice de $I$$D$. Ahora, vamos a $E$ ser un intermedio de campo, correspondiente a un subgrupo $H$$G$, por lo que el $H=\text{Gal}(L/E)$. Entonces

Ejercicio 1: una natural bijection entre el doble cosets $H\backslash G/D$ y el de los números primos de $E$ está por encima $\fp$. (Es posible que desee comenzar por comprobar que esto es independiente de la elección de $\fP$. Otro prime por encima de $\fp$ le han dado un conjugado de descomposición grupo).

Ejercicio 2: Si, en virtud de la correspondencia, el doble coset $HgD$ corresponde al primer $\fp'$$L$, luego $$ D_{\fP/\fp'} = H\cap D^g\leq H\text{ y } I_{\fP/\fp'} = H\cap I^g\leq H. $$ Esto permite calcular el índice de ramificación y el residuo de campo grado de $\fP/\fp'$ anterior.

Espero que las respuestas a sus preguntas. Como para el cálculo explícito de Hilbert campos de la clase, es posible que quieras consultar las Secciones 3 y 4 de Cohen Temas Avanzados Computacional de la Teoría de los números - un maravilloso libro que trata su pregunta en gran detalle.