CM para el ideal primario

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo local regular, $I$ un ideal primo y $J$ un $I$ -ideal primario en $R$ . ¿Es cierto que si $R/I$ es CM entonces también $R/J$ ¿es CM? Esta pregunta es en cierto modo la inversa de este .

Answer 1

Una forma útil de pensar en esta cuestión es considerar $J=I^{(n)}$ El $n$ - poder simbólico de $I$ que por definición es el $I$ -componente principal de $I^n$ .

Cuando $R$ es un anillo polinómico sobre $\mathbb C$ es el ideal formado por las funciones que desaparecen al menos en el orden $n$ en $X = \text{Spec}(R/I)$ .

Entonces es bien sabido que la profundidad de $R/I^{(n)}$ puede bajar. Por ejemplo, tome $I$ generado por el $2\times2$ menores del genérico $2\times 3$ matriz dentro de los anillos polinómicos del $6$ variables, localizadas en el ideal máximo de esas variables. Entonces $R/I$ es Cohen-Macaulay de dimensión $4$ pero $R/I^{(n)}$ tendría profundidad $3$ finalmente. Para afirmaciones más generales sobre ideales de menores maximales, véase, por ejemplo, la sección 3 de:

Potencias de ideales generadas por secuencias d débiles, C. Huneke, J, Algebra, 68 (1981), 471-509.

EDIT: el ejemplo de arriba parece específico, pero tales ejemplos deberían abundar. Espero que la mayoría de los ideales de Cohen-Macaulay que no son intersecciones completas den un ejemplo (se sabe que $R/I^n$ El ordinario poderes, son CM para todos $n>0$ si $I$ es una intersección completa). El $2\times 2$ menores da es una situación genérica de intersección no completa pero ideal de CM.

Un comentario filosófico: es poco probable que la Cohen-Macaulayness sea preservada por las operaciones básicas sobre los ideales. Por lo tanto, si $R/I, R/J$ son CM, no esperamos $R/\sqrt{I}, R/I^n, R/I^{(n)}, R/P$ ( $P$ un primo asociado), o $R/(I+J), R/IJ$ etc. para ser CM.

La razón es que para preservar la profundidad hay que controlar los primos asociados, y estas operaciones sólo permiten controlar el soporte. Sin embargo, encontrar un ejemplo explícito no suele ser tan obvio.

Answer 2

Contraejemplo: $k$ un campo, $R=k[[X,Y]]$ , $I=(Y)$ , $J=(XY, Y^2)$ .

Answer 3

Creo que es cierto. Que R/I sea CM significa que profundidad(R/I)=dim(R/I). Pero como R/I es un factor de R/J por nilradical se deduce que dim(R/J)=dim(R/I). Como R/I es un factor de R/J también tenemos profundidad(R/I) $\leq$ profundidad(R/J). Pero como dim(R/I)=profundidad(R/I) $\leq$ profundidad(R/J) $\leq$ dim(R/J)=dim(R/I) en realidad tenemos la igualdad dim(R/J)=profundidad(R/J), y por tanto R/J es CM.