Integrar $\int_0^\infty \frac{dx}{(x^2+2x+12)^2}$ con residuos

Question

Quiero encontrar la integral

$$I=\int_0^\infty \frac{dx}{(x^2+2x+12)^2}$$

usando el contorno de integración; estoy familiarizado con el trigonométricas sustitución de análisis real.

No hay cortes de ramas, hay dos de segundo orden pol $z=-1\pm\sqrt{11}i$. No puedo utilizar el $\int_{-\infty}^\infty=2\int_0^\infty$ ya que la función no es par.

Claramente, la elección de contorno es importante aquí (comparar con esta pregunta). Traté de medio círculo y de un cuarto de círculo contornos, pero acaban de dar alguna extraña racionales. ¿Hay algo mejor contorno de aquí? Me estoy perdiendo algo?

Answer 1

Sí. No hay un estándar truco para la integración de funciones de más de $[0,\infty)$, y que la explotación de la multi-valuedness del logaritmo acerca de una rama cortada. Por lo tanto, considere la posibilidad de

$$\oint_C dz \frac{\log{z}}{(z^2+2 z+12)^2} $$

donde $C$ es un ojo de la cerradura de contorno como se muestra a continuación:

El radio del círculo pequeño es $\epsilon$ y la del círculo mayor es $R$. El contorno integral sobre la $C$ es entonces

$$\int_{\epsilon}^R dx \frac{\log{x}}{(x^2+2 x+12)^2} + i R \int_0^{2 \pi} d\theta \, e^{i \theta}\frac{\log{\left ( R e^{i \theta} \right )}}{\left (R^2 e^{i 2 \theta} + 2 R e^{i \theta}+12 \right )^2} \\ + \int_R^{\epsilon} dx \frac{\log{x} + i 2 \pi}{(x^2+2 x+12)^2} + i \epsilon \int_{2 \pi}^0 d\phi \, e^{i \phi} \frac{\log{\left ( \epsilon e^{i \phi} \right )}}{\left (\epsilon^2 e^{i 2 \phi}+ 2 \epsilon e^{i \phi}+12 \right )^2}$$

Debería ser evidente que, como $R \to \infty$, la segunda integral se desvanece como $\log{R}/R^3$, y que como $\epsilon \to 0$, el cuarto integral desvanece como $\epsilon \log{\epsilon}$. Por lo tanto, en este límite, el contorno de la integral es

$$-i 2 \pi \int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2 x+12)^2} $$

Por el teorema de los residuos, este contorno integral es también igual a $i 2 \pi$ veces la suma de los residuos en los polos $z_{\pm} = -1 \pm i \sqrt{11}$. Por lo tanto, tenemos

$$\begin{align}\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2 x+12)^2} &= - \left [\frac{d}{dz} \frac{\log{z}}{(z-z_-)^2} \right ]_{z=z_+} - \left [\frac{d}{dz} \frac{\log{z}}{(z-z_+)^2} \right ]_{z=z_-}\\ &= -\frac1{z_+ (z_+-z_-)^2} + \frac{2 \log{z_+}}{ (z_+-z_-)^3}\\ &-\frac1{z_- (z_--z_+)^2} + \frac{2 \log{z_-}}{(z_--z_+)^3} \\ &= -\frac{z_++z_-}{z_- z_+ (z_+-z_-)^2} + 2 \frac{\log{z_+}-\log{z_-}}{(z_+-z_-)^3} \end{align}$$

Para obtener este derecho, es crucial que entendamos cómo calcular los registros. Entender que, en la definición de los contornos, exigimos que $\arg{z} \in [0,2 \pi)$. Por lo tanto,

$$\log{z_+} = \frac12 \log{12} + i \left (\pi- \arctan{\sqrt{11}}\right )$$ $$\log{z_-} = \frac12 \log{12} +i \left (\pi+ \arctan{\sqrt{11}}\right )$$

Poniendo todo esto, nos encontramos, después de algunos aritmética, que

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2 x+12)^2} = \frac{1}{22 \sqrt{11}} \arctan{\sqrt{11}} - \frac1{264} $$

ANEXO

Otra forma de evaluar esta integral es observar que

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2 x+b)^2} = -\frac{\partial}{\partial b} \int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+2 x +b} $$

a continuación, considere la posibilidad de

$$\oint_C dz \frac{\log{z}}{z^2+2 z+b} $$

El análisis es el mismo que el anterior; el resultado es que

$$-\int_0^{\infty} \frac{dx}{x^2+2 x +b} = \frac{\log{z_+}-\log{z_-}}{z_+-z_-} = -\frac{\arctan{\sqrt{b-1}}}{\sqrt{b-1}}$$

La diferenciación, obtenemos

$$\int_0^{\infty} \frac{dx}{(x^2+2 x+b)^2} = \frac{\arctan{\sqrt{b-1}}}{2 (b-1)^{3/2}}-\frac{1}{2 b (b-1)}$$

Conectar $b=12$ produce el resultado anterior.