Fórmula de exponenciación cardinal

Question

Supongamos que GCH y que $k,m$ ser infinitos cardenales. Me gustaría demostrar que $k^m = \max \{ k,2^m \}$ . Por supuesto, tenemos $k=\beth_a$ y $m=\beth_b$ para los ordinales $a,b$ . Si $a$ es un ordinal sucesor, entonces podemos escribir

$$k^m = (2^{\beth_c})^{\beth_b} = 2^{\beth_c \cdot \beth_b} = 2^{\max \{ \beth_c, \beth_b \}} = \max \{ k,2^m \}$$

donde $c$ es el predecesor de $a$ . ¿Podemos hacer esto cuando $a$ no es un ordinal sucesorio? Si es así, ¿cómo? Además, ¿es necesario el GCH en este caso?

Answer 1

Esto no es cierto para los cardenales singulares. Especialmente bajo $\sf GCH$ .

Si $\kappa$ es un cardenal singular, y $\mu=\operatorname{cf}(\kappa)$ entonces $\mu<2^\mu=\mu^+<\kappa$ y $\kappa^\mu=\kappa^+$ (debido al teorema de Koenig que nos dice que $\kappa^{\operatorname{cf}(\kappa)}>\kappa$ para cualquier cardinal infinito) que no es igual a $\kappa$ ni $2^\mu$ .

Hay muchas cosas que decir sobre lo que podemos probar, y qué tipo de $\sf GCH$ y se necesitan supuestos similares (más o menos) para estas cosas. Puedes encontrar mucho de eso en:

M. Holz, K. Steffens, E. Weitz, Introducción a la aritmética cardinal .