$0$ elemento de $A\otimes \mathbb{Q}$

Question

Estoy estudiando el producto tensorial y me parece que no es fácil distinguir $a\otimes b=0$ o $\neq 0$ .

Estoy pensando en el siguiente caso especial y debería ser cierto.

Dejemos que $A$ sea un grupo abeliano, es decir, un $\mathbb{Z}$ y $a\otimes 1 \in A\bigotimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ . Entonces, $a\otimes 1 =0$ si y sólo si existe algún $0\neq n\in \mathbb{Z}$ tal que $na=0$ .

Creo que la parte "si" es trivial, pero la otra parte es difícil. Quiero una prueba de esta afirmación o un contraejemplo.

Answer 1

Definir el grupo abeliano $A_0$ de la siguiente manera:

El conjunto subyacente es $(A \times (\mathbb{Z} \setminus \{0\})) / \sim$ , donde $\sim$ es la relación de equivalencia definida por $(a, n) \sim (b, m) \iff \exists u \in \mathbb{Z} \setminus \{0\} (u(ma - nb) = 0)$ . La operación de grupo se define por

$$[(a,n)] + [(b,m)] = [(ma+nb,nm)]$$

(¡comprueba que esto está bien definido y da un grupo abeliano!)

En otras palabras, $A$ es el grupo abeliano de cocientes formales $a/n$ donde $a \in A$ en $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ . En palabras aún más diferentes, acabamos de construir la localización $A_0$ . Por hechos básicos del álgebra conmutativa, $A_0 \cong A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Z}_0 = A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ . Explicaré este isomorfismo y luego diré cómo resuelve el problema.

Reclamación $A_0 \cong A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ .

Esbozo de prueba. En primer lugar, definimos $[(a,n)] \mapsto a \otimes 1/n : A_0 \to A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ -- comprobar que está bien definido y es un homomorfismo. A continuación, construimos la inversa por la propiedad universal de los productos tensoriales. Definamos la función $(a,p/q) \mapsto [(pa,q)] : A \times \mathbb{Q} \to A_0$ . Compruebe que esto es $\mathbb{Z}$ -bilineal, por lo que se obtiene un homomorfismo $A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \to A_0$ determinado por $a \otimes p/q \mapsto [(pa,q)]$ . Comprueba que esto es inverso al homomorfismo que construimos anteriormente.

Corolario $a \otimes 1 = 0$ en $A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ si y sólo si $na = 0$ para algunos $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ .

Prueba. El elemento $a \otimes 1 \in A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ corresponde a $[(a,1)] \in A_0$ a través del mencionado isomorfismo, por lo que $a \otimes 1 = 0$ si y sólo si $[(a,1)] = 0 = [(0,1)]$ . Por definición, esto equivale a la existencia de algún $n \in \mathbb{Z} \setminus \{0\}$ tal que $na = n(1 \cdot a - 1 \cdot 0) = 0$ , según se desee.

Answer 2

Cuando se tensa sobre $\mathbb{Z}$ se pueden pasar enteros sobre el tensor. Como parece que estás aludiendo, esto te permite aniquilar elementos de torsión de $A$ . En concreto, si $an = 0 \in A$ entonces $$ a \otimes 1 = a \otimes \bigl( n \cdot \tfrac{1}{n} \bigr) = (an) \otimes \tfrac{1}{n} = 0 \otimes \tfrac{1}{n} = 0 \otimes 0 \in A \otimes \mathbb{Q} $$

¿Cómo se caracteriza un elemento no nulo $a \in A$ ¿que no es torsión? Si $na = 0 \in A$ entonces $n=0$ (independencia lineal del conjunto único $\{a\}$ ). Así que todo tensor puro se parece a $$ a \otimes 1 = (an) \otimes \tfrac{1}{n}, $$ pero $an \neq 0 \in A$ y $\tfrac{1}{n} \neq 0 \in \mathbb{Q}$ por lo que no es el elemento cero en $A \otimes \mathbb{Q}$ .

Answer 3

La prueba consiste en construir explícitamente la localización $M = (\mathbf{Z} - \{0\})^{-1}A$ . Esto conlleva un $\mathbf{Q}$ -estructura de espacio vectorial. Entonces hay una obvia $\mathbf{Z}$ -Mapeo bilineal $A \times \mathbf{Q} \to M$ llevando $(a,1)$ a un elemento no nulo.

Answer 4

Aquí hay otra solución: Tensar la secuencia exacta $0 \rightarrow (a) \rightarrow A \rightarrow A / (a) \rightarrow 0$ con $\mathbb{Q}$ que es plana sobre $\mathbb{Z}$ . $(a)$ es el subgrupo generado por $a$ .

Si tal $n$ existe, entonces $a \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \sim (\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = 0$ . Por lo tanto, $a \otimes 1$ (que está a la imagen de $(a) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \rightarrow A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ ) debe ser 0.

Si no hay tal $n$ existe, entonces $(a) \sim \mathbb{Z}$ Así que $(a) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \sim \mathbb{Z} \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \sim \mathbb{Q}$ siendo la función de isomorfismo $na \otimes p/q = np /q$ . Bajo este isomorfismo, $1 \in \mathbb{Q}$ corresponde a $a \otimes 1$ Así que $a \otimes 1$ no es 0 en $(a) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ . Por lo tanto, por la inyectividad de $(a) \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} \rightarrow A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ su imagen en $A \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}$ tampoco es 0.