Problema de notación de derivadas parciales al utilizar la regla de la cadena

Question

Acabo de tropezar con una simple incoherencia de notación en las derivadas parciales y no estoy seguro de cómo hacer que aparezca más correctamente. Supongamos que

$f(x,y) := (x+y)*x$

Sin ninguna razón en particular, vamos a definir

$u(x,y) := x + y$

para que podamos reescribir $f(x,y) := u*x$ . Ahora en notación de Leibniz podríamos expresar la derivada parcial de $\frac{df}{dx}$ por

$$\frac{df}{dx} = \frac{df}{df}\frac{df}{dx} + \frac{df}{df}\frac{df}{du}\frac{du}{dx} = 1*u + 1*x*1 = 2x + y$$

Lo que me molesta es que tengo $\frac{df}{dx}$ en el lado izquierdo y en el lado derecho de la ecuación, pero es evidente que ambos términos tienen un significado diferente.

Answer 1

Has utilizado una notación ligeramente errónea. Recuerda que una derivada parcial es lo mismo que una derivada total cuando la variable respectiva es la sólo parámetro cambiante.

La derivada parcial para $f$ como lo ha definido, con respecto a $x$ es:

$$\dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} ux$$

Empleando la regla del producto, obtenemos:

$$x\dfrac{\partial}{\partial x} u+u\dfrac{d}{dx} x=x(1)+u(1)=x+u=2x+y.$$

Tenga en cuenta que $f=(x+y)x=x^2+xy$ y tomando el parcial con respecto a $x$ de aquí dará la misma respuesta. ¿Ayuda esto?