¿Se sabe que el anillo de períodos no es un campo?

Question

Acabo de aprender aquí que conocemos números que no son períodos; ¿se sabe mientras tanto que el anillo de períodos no es un campo? Sé que se conjetura que $1/\pi$ no es un período, pero la existencia de un período cuya inversa no es un período parece estar aún abierta. ¿Es esto correcto?

En términos más generales: ¿se cree que el grupo unitario del anillo de períodos es mayor que los números algebraicos no nulos?

Answer 1

Creo que las preguntas eran sobre pruebas incondicionales o contraejemplos. No tengo una respuesta a ninguna de esas preguntas, pero creo que sigue siendo interesante entender cómo el yoga de los motivos sugiere respuestas naturales a estas preguntas. Aunque esto pueda parecer trivial para las personas familiarizadas con el tema.

Trabajemos en el entorno de Voevodsky $\otimes$ -categorías trianguladas $DM^{eff}(\mathbb{Q}):= DM_{gm}^{eff}(Spec(\mathbb{Q});\mathbb{Q}) \subset DM_{gm}(Spec(\mathbb{Q});\mathbb{Q}) =: DM(\mathbb{Q})$ . Recordemos que esta última se obtiene invirtiendo formalmente $\mathbb{Q}(1)$ y que es un rígido $\otimes$ -Categoría triangulada.

Pregunta 1 : ¿Es el anillo de períodos (efectivos) un campo?

Siguiendo las "Observaciones sobre las conjeturas estándar de Grothendieck" de Beilinson, supongamos

Conjetura motivacional: Existe una estructura t no degenerada en la categoría de Voevodsky $DM(\mathbb{Q}) := DM(Spec(\mathbb{Q});\mathbb{Q})$ y tal que la función de realización de Betti $\omega_B: DM(\mathbb{Q}) \to D^bMod_f(\mathbb{Q})$ es un $t$ -exactamente $\otimes$ -funcionario.

Esta es una conjetura extremadamente fuerte ya que implica las conjeturas estándar en la característica 0.

Bajo esta conjetura, el corazón de la motvitic $t$ -la estructura es una categoría tannakiana $MM(\mathbb{Q})$ . Tenemos funtores de realización de Betti y Rham $\omega_B,\omega_{dR}: MM(\mathbb{Q}) \rightrightarrows Mod_f(\mathbb{Q})$ . Y podemos definir $$ Per := Isom^\otimes(\omega_{dR},\omega_{B}) $$ Se trata de un fpqc-torsor bajo el grupo de Galois motivacional $G_B := Aut^\otimes(\omega_B)$ .

Definir el álgebra de períodos motivacionales como el anillo de funciones regulares sobre el torsor de Betti/de Rham: $$ P_{mot} := \mathcal{O}(Per) $$ La integración de formas diferenciales (o más generalmente la correspondencia Riemann-Hilbert) define un $\mathbb{C}$ -punto $$ Spec(\mathbb{C}) \longrightarrow Per $$ La imagen del morfismo correspondiente $P_{mot} \to \mathbb{C}$ es el anillo de períodos $P$ .

Nota: Creo que toda esta parte se conoce realmente de forma incondicional en el entorno de los motivos de Nori (véase arXiv:1105.0865v4).

Conjetura de época: El morfismo $P_{mot} \to P$ es un isomorfismo.

Ahora, basándonos en estas pequeñas conjeturas, podemos decir

Hélice: $P_{mot}$ no es un campo por lo que $P$ tampoco lo es.

Prueba: En efecto, en su comentario G-torsor cuyo anillo de funciones regulares es un campo. @quasi-coherente explicó cómo la fidelidad de la planitud implicaría que si $P_{mot}$ fuera un campo entonces sería algebraico sobre $\mathbb{Q}$ lo que contradice el hecho de que $2\pi i$ pertenece a la imagen de $P_{mot}\to \mathbb{C}$ .

Pregunta 2 ¿Es cierto que $(P_{mot}^{eff})^\times = \overline{\mathbb{Q}}^\times$ ?

Este post ya se está haciendo demasiado largo, así que intentaré escribir el resto más tarde, pero la idea básica es que los motivos efectivos invertibles son motivos de Artin. Esto se puede demostrar en términos de pesos o niveau (nivel).

Answer 2

Tal vez pueda esbozar un argumento para su primera pregunta.

Dejemos que $P$ sea el anillo de periodos "formales" efectivos, generados por cuádruples $[X,D,\omega,\gamma]$ que consiste en un proyectivo suave $Q$ -variedad $X$ , un divisor de cruce normal $D$ , top-form $\omega$ y ciclo singular $\gamma$ , como se comenta en Kontsevich-Zagier.

Dejemos que $\omega: P \rightarrow C$ sea el homomorfismo de anillo obtenido por integración, cuya imagen es el anillo de períodos que mencionas. Se pregunta si la imagen $\omega(P)$ podría ser un campo.

Si lo fuera, entonces el mapa inducido $Spec(C) \rightarrow Spec(P)$ sería un $C$ -punto del esquema $Spec(P)$ cuya imagen es un punto cerrado del esquema. Como $P$ es el límite inductivo de los subrings finitamente generados $P_M$ encontramos que el mapa inducido $Spec(C) \rightarrow Spec(P_M)$ tiene imagen a punto cerrado de $Spec(P_M)$ por cualquier motivo $M$ que genera un anillo de períodos suficientemente grande (¿o me estoy equivocando con los límites proyectivos de las variedades afines?).

Esto, por cierto, es contrario a las expectativas de la conjetura del período de Grothendieck, que afirma que la imagen de $Spec(C) \rightarrow Spec(P_M)$ debe ser un genérico ¡punto!

Si el mapa $Spec(C) \rightarrow Spec(P_M)$ tiene como imagen un punto cerrado, entonces (ya que $Spec(P_M)$ se define sobre $Q$ ), su imagen es un punto definido sobre $\bar Q$ . De ello se deduce que la dimensión de la $Q$ -El cierre de Zariski de este punto es cero.

Pero esta dimensión (cero) es igual (como señala Yves Andre en su artículo "Galois Theory, Motives, and Transcendental Numbers") al grado de trascendencia $TrDeg_Q[Per(M)]$ , donde $Per(M)$ es el conjunto de períodos del motivo $M$ .

Así, si se elige un motivo cuyos periodos generan una extensión trascendental de $Q$ (por ejemplo, cuyos períodos incluyen $2 \pi i$ ), uno debería encontrar una contradicción.

En cuanto a la segunda pregunta... Intentaré decir algo cuando no esté a punto de reunirme con los estudiantes.