ramificaciones en campos numéricos compuestos

Question

Supongamos que { $K_i/\mathbb{Q}$ } es un conjunto finito de extensiones galois finitas de $\mathbb{Q}$ con grupos de Galois $G_i$ .

Supongamos que conocemos las ramificaciones de $K_i$ bastante bien (por ejemplo, sus grupos de descomposición, grupos de inercia en algunos primos),

1. ¿Qué podemos decir sobre las ramificaciones del campo compositivo de $K_i$ (por ejemplo, el índice de ramificación, el grado de inercia de algunos primos)? ¿Alguna referencia?

2. En particular, cuando $K_1\cap K_2=\mathbb{Q}$ sabemos que $K_1K_2$ tiene grupo de Galois $G_1\times G_2$ . Es el correspondiente grupo de descomposición (resp. grupo de inercia) de la forma $D_1\times D_2$ (resp. $I_1\times I_2$ )? (Esto es erróneo en general, véase la respuesta de Álvaro Lozano-Robledo para un contraejemplo)

3. ¿Qué tal el caso si eliminamos el requisito de que $K_i/\mathbb{Q}$ son Galois?

Answer 1

Para (2), la respuesta es no, no en general. He aquí un ejemplo sencillo: tomemos $K_1=\mathbb{Q}(i)$ et $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ . Entonces ambos $K_1/\mathbb{Q}$ et $K_2/\mathbb{Q}$ están (totalmente) ramificados en $p=2$ et $K_1\cap K_2=\mathbb{Q}$ pero $F=K_1K_2$ no está totalmente ramificado en $2$ . En otras palabras, la extensión $\mathbb{Q}(\sqrt{-5},i)/\mathbb{Q}(\sqrt{-5})$ no está ramificado en $2$ (de hecho, $F$ es el campo de clase Hilbert de $K_2$ por lo que no está ramificado en ninguna parte).

Por otro lado, si se toma $K_1=\mathbb{Q}(i)$ et $K_2=\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ entonces $F=K_1K_2$ está totalmente ramificado en $2$ en $\mathbb{Q}$ . (Aquí $F=\mathbb{Q}(\zeta_8)$ .)

En ambos casos, $I_1=D_1=G_1$ et $I_2=D_2=G_2$ (en su notación) pero en el primer caso la inercia en el compositum tiene orden $2$ y en el segundo caso tiene orden $4$ . Esto demuestra que se necesita conocer algo más que la descomposición y los subgrupos de inercia en un primo en cada $K_i$ para entender el índice de ramificación en el compositum.