Series de Fourier con coeficientes "Riemann"

Question

Consideremos la suma (que es una serie de Fourier y una serie de Dirichlet):

$$F(x)=\sum_{n=1}^{\infty} n^{-s} \cos(2 \pi n x)$$

Pour $\Re(s)>1$ tenemos (gracias a la convergencia absoluta) $\lim_{x \to 0} F(x)=\zeta(s)$ pero ¿es esto válido para $0<\Re(s)<1$ ?

Estoy seguro de que esto es más que conocido pero no lo he encontrado en internet, y como una simple fórmula de suma de Poisson no responde a la pregunta, no es del todo fácil, ¿alguna referencia?

Answer 1

Veremos que el límite de $F(x)$ no existe como $x\rightarrow 0^+$ para $0<s<1$ . El siguiente lema se deduce de $$\cos(2\pi nx)\sin \pi x = \frac12 \left[ \sin \pi x(2n+1)-\sin \pi x(2n-1)\right]$$ y la suma telescópica.

Lema 1

Dejemos que $t\ge 1$ et $x>0$ . Entonces $$ A_t=\sum_{n\leq t} \cos (2\pi n x) =\frac{\sin\pi x(2\lfloor t\rfloor +1)-\sin\pi x}{2\sin \pi x}. $$

Por suma parcial, tenemos

Lema 2

Dejemos que $x>0$ et $0<s<1$ . Entonces $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2\pi nx}{n^s}=s\int_1^{\infty} \frac{A_t}{t^{s+1}}dt=-\frac12+s\int_1^{\infty} \frac{\sin\pi x(2\lfloor t\rfloor +1)}{2t^{s+1}\sin \pi x} dt. $$

Reemplazamos $\sin\pi x(2\lfloor t \rfloor +1)$ por $\sin 2\pi x t$ a costa de una función uniformemente acotada. Por cambio de variable $x t = u$ tenemos

Lema 3

Dejemos que $x>0$ et $0<s<1$ . Entonces hay funciones uniformemente acotadas $B_1(s,x)$ et $B_2(s,x)$ tal que $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2\pi nx}{n^s}=B_1(s,x)+\frac s{1-s}B_2(s,x)+\frac{x^s}{2\sin \pi x} s\int_0^{\infty} \frac{\sin 2\pi u}{u^{s+1}}du.$$

Por la integralidad en este puesto: Estoy buscando varias formas de demostrar que $\int_{0}^{\infty }\sin(x)x^mdx=\cos(\frac{\pi m}{2})\Gamma (m+1)$

tenemos una expresión para la integral.

Lema 4

Pour $0<s<1$ tenemos $$ s\int_0^{\infty} \frac{\sin 2\pi u}{u^{s+1}}du=(2\pi)^s \Gamma(1-s)\sin \frac{\pi s}2 $$

Volviendo al problema principal, tenemos

Teorema

Pour $x>0$ et $0<s<1$ y las funciones uniformemente acotadas $B_i(s,x)$ al igual que el lema anterior, tenemos $$ \sum_{n=1}^{\infty} \frac{\cos 2\pi nx}{n^s}=B_1(s,x)+\frac s{1-s}B_2(s,x) + \frac{x^s}{2\sin \pi x} (2\pi)^s \Gamma(1-s)\sin \frac{\pi s}2. $$

Por lo tanto, para un $0<s<1$ el límite de $F(x)$ como $x\rightarrow 0^+$ no existe.