Teorema del valor medio $e^{f(t)}-e^{g(t)}=e^{h(t)}(f(t)-g(t)).$

Question

Considere $f,g:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ dos continuo funciones.

Para cada $t\in \mathbb{R}$ utilizando el teorema del valor medio, se puede elegir un número $h(t)$ tal que $$e^{f(t)}-e^{g(t)}=e^{h(t)}(f(t)-g(t)).$$ ¿Podemos elegir los números $h(t)$ para que $h:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ es un continuo ¿función?

Answer 1

Si $f(t) \ne g(t)$ entonces $$\begin{align} e^{f(t)} - e^{g(t)} &= e^{g(t)} \frac{e^{f(t)-g(t)}-1}{f(t)-g(t)} \cdot (f(t) - g(t)) \\ &= e^{g(t)} u(f(t) - g(t)) \cdot (f(t) - g(t)) \end{align}$$ con $u(x) = \frac{e^x-1}{x}$ para $x \ne 0$ . Ahora podemos definir $u(0) = 1$ , entonces $u$ es continua y positiva en todas las $\Bbb R$ y $$e^{f(t)} - e^{g(t)} = e^{g(t)} u(f(t) - g(t)) \cdot (f(t) - g(t))$$ es válida para todos los $t$ . Por lo tanto, $$h(t) = g(t) + \ln (u(f(t) - g(t))) = \begin{cases} \ln\left(\frac{e^{f(t)} - e^{g(t)}}{f(t)-g(t)}\right)& \text { if } f(t) \ne g(t) \\ g(t) & \text{ if }f(t) = g(t) \end{cases}$$ es una solución continua. Esto también se puede escribir como $$h(t) = \ln M_{lm}(e^{f(t)}, e^{g(t)})$$ donde $M_{lm}$ es el media logarítmica .

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En general, esto funciona para todos los estrictamente convexo funciones diferenciables $F: \Bbb R \to \Bbb R$ y funciones continuas $f, g$ .

Pour $x \ne y$ dejar $c(x, y)$ sea el único solución de $$F(x) - F(y) = F'(c(x, y)) (x-y) \, .$$ $c(x, y)$ está determinada de forma única porque $F'$ es estrictamente creciente. También sabemos que $c(x,y)$ se encuentra entre $x$ et $y$ es decir $$\min(x, y) \le c(x, y) \le \max(x, y) \, .$$ De ello se desprende que $$h(t) = \begin{cases} c(f(t), g(t) & \text{ if } f(t) \ne g(t) \\ g(t) & \text{ if } f(t) = g(t) \end{cases}$$ es continua y satisface $$F(f(t)) - F(g(t)) = F'(h(t)) \cdot (f(t) -g(t))$$ para todos $t$ .