Colector de Stiefel de los complejos de 2 marcos en $\mathbb{C}^4$ es un producto de esferas?

Question

He visto en varios lugares que se ha dicho que hay un homeomorfismo

$$V_2(\mathbb{C}^4)\cong S^5\times S^7$$

entre el colector de Stiefel del complejo $2$ -marca en $\mathbb{C}^4$ y el producto $S^5\times S^7$ . Por supuesto $V_2(\mathbb{C}^4)\cong SU_4/SU_2$ .

Sospecho que hay una buena manera de conseguirlo identificando $V_2(\mathbb{C}^4)$ con algún objeto geométrico, y quizás sea realmente un difeomorfismo? O tal vez se deriva de alguna manera de la identificación de $\mathbb{C}^4$ con los octoniones $\mathbb{O}$ ?

¿De dónde viene el homeomorfismo?

Answer 1

$V_2(\mathbb{C}^4)$ es un $S^5$ -Acabar con el paquete $S^7$ . Pero cada $S^5$ -Acabar con el paquete $S^7$ es trivial:

$S^5$ -bundles over $S^7$ se construyen pegando dos triviales $S^5$ -Acabar con el paquete $D^7$ a lo largo del límite $\partial D^7=S^6$ . Así que se clasifican por $$[S^6,\operatorname{Aut}S^5]=[S_6,SO(6)]=\pi_6(SO(6))=0.$$

También podemos ver esto al identificar $\mathbb{C}^4$ con $\mathbb{O}$ como con la prueba de la paralelizabilidad de $S^7$ . A continuación, seleccionando $x\in S^7$ como el primer vector, el segundo vector tiene que estar en el tramo de $i_2x,i_3x,i_4x,i_5x,i_6x,i_7x$ desde $\mathbb{C}x=\mathbb{R}x+\mathbb{R}i_1x$ . Pero esto es precisamente lo que da la trivialización del haz: $S^5\subset\operatorname{span}_\mathbb{R}\{i_2,i_3,i_4,i_5,i_6.i_7\}$ .