¿Cómo sabemos que $\psi$ es la función propia de un operador $\hat{H}$ con valor propio $W$ ?

Question

Soy algo nuevo en esto de los valores propios, las funciones propias y los operadores, pero me he encontrado con esta cita muchas veces:

$\psi$ es la función propia de un operador $\hat{H}$ con valor propio $W$ .

Primero necesito una explicación sobre cómo sabemos esto. Todo lo que sé sobre el operador $\hat{H}$ hasta ahora es esta ecuación donde $\langle W \rangle$ es un valor energético esperado:

\begin{align} \langle W \rangle &= \int \limits_{-\infty}^{\infty} \overline{\Psi}\, \left(- \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d \, x^2} + W_p\right) \Psi \, d x \end{align}

De lo que se deduce que $\hat{H} = - \frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{d \, x^2} + W_p$ .

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Pregunta adicional:

Sé cómo derivar la relación $\hat{H}\hat{a} = (W - \hbar \omega)\hat{a} \psi$ por lo que afirman que:

$\hat{a} \psi$ es una función propia del operador $\hat{H}$ con valor propio $(W-\hbar \omega)$ .

También sé cómo derivar la relación $\hat{H}\hat{a}^\dagger = (W + \hbar \omega)\hat{a}^\dagger \psi$ por lo que afirman que:

$\hat{a}^\dagger \psi$ es una función propia del operador $\hat{H}$ con valor propio $(W+\hbar \omega)$ .

¿Cómo lo sabemos?

Answer 1

En primer lugar, necesito una explicación sobre cómo sabemos esto.

Es estipulado .

Tal vez ayude a su comprensión si lo expresamos de esta manera:

Dejemos que $\psi$ sea una función propia de un operador $\hat{H}$ con valor propio $W$ .

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(Actualización para abordar el comentario de la OP).

Teorema espectral :

Teorema . Existe una base ortonormal de V formada por los vectores propios de A. Cada valor propio es real.

En lo anterior, A es un operador hermitiano. En QM, el operador hamiltoniano $\hat{H}$ es un operador hermitiano correspondiente al observable clásico de energía total.

El teorema espectral garantiza esencialmente que no sólo existen funciones propias (vectores propios, estados propios) con valores propios reales asociados a los operadores hermitianos, sino que el conjunto de estos estados propios es completo, es decir, cualquier El posible estado del sistema puede expresarse como una suma ponderada de los estados propios del operador.

Por lo tanto, nosotros conozca que hay estados propios y valores propios asociados a $\hat{H}$ . $\psi$ es sólo una etiqueta para uno en particular y $W$ es sólo una etiqueta para el valor propio asociado.

Answer 2

No te estás enterando de nada.

¿Cómo sabemos de este $\langle W \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + W_p \right) \Psi dx$ ou este $\hat{H} = -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2}{dx^2} + W_p$ que tenemos una eigenfunción y un valor propio.

Respuesta: no lo hacemos.

Todo lo que sé sobre el operador $\bar{H}$ hasta ahora es esta ecuación donde $\langle W \rangle$ es un valor energético esperado: \begin{align} \langle W \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\Psi}\left(-\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2}{dx^2} + W_p \right) \Psi dx \end{align}

No, no es así.

Este es el aspecto matemático de lo que es una función propia y un valor propio:

Dada una transformación lineal $T : V \to V$ , donde $V$ es un espacio de Hilbert o de Banach de dimensión infinita, entonces un escalar $\lambda$ es un valor propio si y sólo si existe algún vector no nulo $v$ tal que $T(v) = \lambda v$ .

Aquí está el lado de la física (es decir, la QM):

Postulamos que el estado de un sistema es descrito por algún vector abstracto (llamado ket) $|\Psi\rangle$ que pertenece a algún espacio abstracto de Hilbert $\mathcal{H}$ .

A continuación postulamos que este estado evoluciona en el tiempo mediante algún operador hermitiano $H$ que llamamos el Hamiltoniano, a través de la ecuación de Schrodinger. ¿Qué es? $H$ se adivina y se compara con los resultados experimentales (de todos modos, eso es la física).

A continuación postulamos que para cualquier cantidad medible, existe algún operador hermitiano $O$ y además postulamos que la media de muchas mediciones de $O$ viene dada por $ \langle O \rangle = \langle \Psi | O | \Psi \rangle$ .

Conexión con las funciones de onda: elegimos el espacio de Hilbert $L^2(\mathbb{R}^3)$ para trabajar, así que $\Psi(x) = \langle x | \Psi \rangle$ y $\langle O \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} \Psi^*(x) O(x) \Psi(x) dx$ .

Bien, este es el final. La forma de $H$ no se deduce del valor esperado de la energía.

¡Espera! Ni siquiera he hablado de los valores propios y las funciones propias. ¡Este es un post inútil!

Respuesta: no es necesario. Pero es útil encontrar los valores propios y las funciones propias de $H$ porque las funciones propias de $H$ forman una base del espacio de Hilbert, y ciertas expresiones se vuelven diagonales/se manipulan más fácilmente cuando hacemos los cálculos que queramos.

Así que para encontrar los valores propios de $H$ simplemente resolvemos la ecuación de valores propios como se ha indicado anteriormente: Resolver \begin{align} H | \Psi_n \rangle = E_n | \Psi_n \rangle. \end{align} Esto es en la forma $T(v) = \lambda v$ .

Así que como dice Alfred Centauri, simplemente quiere para encontrar las funciones propias de $H$ . Una pregunta más sutil sería, ¿cómo sabemos que existen? La respuesta está en la teoría espectral y en la teoría de Sturm-Liouville, pero no importa por ahora, como físicos asumimos que siempre existen.

Así que su pregunta adicional:

$\hat{a} \psi$ es una función propia del operador $\hat{H}$ con valor propio $(W-\hbar \omega)$ .

Bueno.... que sigue de inmediato. Dijiste que ya habías demostrado que $H a^\dagger \psi = (W - \hbar \omega) a^\dagger \psi$ . Así que aquí $T$ = $H$ , $a^\dagger \psi = v$ y $\lambda = (W - \hbar \omega)$ . que es una ecuación de valores propios $T(v) = \lambda v$ . Así, $a^\dagger \psi$ es una función propia de $H$ con valor propio $(W-\hbar \omega)$ .