Resolver la ecuación cuadrática en dos variables .

Question

Cuál debería ser el mejor enfoque para resolver este tipo de ecuaciones.

$$3x^2-63+12y=0$$

$$3y^2-63+12x=0$$ En realidad son derivadas parciales de esta ecuación $f(x,y)=x^3+y^3-63(x+y)+12xy$

Estoy haciendo preguntas de máximos y mínimos de dos variables y me está costando mucho resolver estas ecuaciones.

Answer 1

Obsérvese que al restar las dos ecuaciones, obtenemos: $$3(x^2-y^2)\color{red} -12(x-y)=0$$ $$\implies (x-y)\left[3(x+y)\right]-12(x-y)=0$$ $$\implies (x-y)(3x+3y-12)=0$$

¿Qué puede deducir de esto?

Answer 2

Al igualar obtenemos

$$3x^2-3y^2=12y-12x\iff3(x-y)(x+y)=12(y-x)\iff y=x \quad \lor \quad x+y=4$$

y por lo tanto

• para $y=x$

$$3x^2-63+12x=0\implies x=-7,3 \implies (x,y)=(-7,-7) \quad (x,y)=(3,3)$$

• para $y=4-x$

$$3x^2-63+12(4-x)=0\implies x=-1,5 \implies (x,y)=(-1,5) \quad (x,y)=(5,-1)$$

Answer 3

Esto se puede resolver fácilmente sin necesidad de utilizar las derivadas.

$y^2-21+4x=0$

$y^2=21-4x$

$y=\sqrt{21-4x}$

$3x^2-63+12\sqrt{21-4x}=0$

$x^2-21=-4\sqrt{21-4x}$

$x^4-42x^2+441=16(21-4x)$

¿Puedes resolverlo desde aquí?