Relación entre el número de valores propios negativos de $A$ y $B$ cuando $A=SB$ , donde $S$ es una matriz diagonal positiva

Question

Estoy tratando de encontrar una relación entre los signos de los valores propios de una matriz $A=SB$ y los valores propios de $B$ cuando los tres son invertibles y $S$ y $B$ tienen exclusivamente entradas reales, y $S$ es una matriz diagonal positiva.

En concreto, exijo que $A$ satisfacen los valores propios de $Re[\lambda_i]<0 \;\forall i$ . En este caso, ¿cuáles son las limitaciones de $B$ es decir, ¿qué podemos decir sobre ella, sus valores propios y sus signos?

Por las simulaciones sé que, en general, no hay conservación de los signos de los valores propios. Sin embargo, parece que cuando $B$ es simétrica, el número de valores propios con un signo específico se conserva, es decir, su firma se conserva. ¿Es esto cierto? He mirado la Ley de Inercia de Sylvester ( wiki , mundo de las matemáticas ), pero como no sé nada de formas cuadráticas, no sé muy bien qué hacer con ella. Tengo la impresión de que podría ser de utilidad a través de este MO respuesta.

Por lo que he mirado, estas preguntas parecen útiles (aunque no entiendo muy bien la teoría que hay detrás de las respuestas, así que no estoy seguro de si se aplican o no a mi problema):

• Valores propios del producto de una matriz y una matriz diagonal (que menciona las desigualdades de Horn)
• Valores propios del producto de una matriz con una matriz diagonal (curiosamente, tienen el mismo nombre)
• si los valores propios son positivos, ¿la matriz es definida positiva?
• ¿Tiene la matriz positiva definida no simétrica valores propios positivos?
• raíz cuadrada de matriz simétrica y transposición (que menciona la factorización de Cholesky)

Restricciones en una asimétrica $B$ sería fantástico, pero se agradece cualquier aportación.

Answer 1

He aquí una respuesta parcial, que conduce a condiciones suficientes. Utiliza un resultado clásico de Bendixon (1902). Sea $H(A) = (A+A^T)/2$ sea la parte simétrica de $A$ . Entonces $$ \min_i \lambda_i\left( H(A) \right) \leq Re[\lambda_i(A)] \leq \max_i \lambda_i\left( H(A) \right). $$ Por ello, si exigimos que $Re[\lambda_i(A)] < 0$ es suficiente que los valores propios de $H(A)$ son todos negativos. Equivalentemente, podemos preguntarnos si podemos encontrar una matriz definida positiva $Q$ tal que $A + A^T + Q = 0$ es decir $$ SB + B^TS + Q = 0. $$ Esta relación se llama ecuación de Lyapunov. Para un determinado $B$ Se sabe que la ecuación de Lyapunov tiene una única solución definida positiva $S$ para cualquier definición positiva $Q$ si y sólo si $Re[\lambda_i(B)] < 0$ para todos $i$ . En su caso también requerimos que $S$ debe ser diagonal. Hay una gran cantidad de literatura sobre soluciones diagonales a la ecuación de Lyapunov, pero quizás la solución más completa al problema fue dada por Barker, Berman y Plemmons (1978): Existe una solución diagonal $S$ si y sólo si $B X$ tiene al menos un elemento diagonal negativo para todas las matrices semidefinidas positivas no nulas $X$ .