Problema en un conjunto de todos $3 \times 3$ matrices triangulares superiores reales con todas las entradas diagonales $=1$ ,

Question

Dejemos que $W$ sea el conjunto de todos los $3 \times 3$ matrices triangulares superiores reales con entradas diagonales $1$ y que $B = (b_{ij})$ ser un $3 \times 3$ matriz real tr que satisface $AB = BA$ para todos $A \in W$ elija la(s) frase(s) correcta(s) $-$

$a$ . Cada $A$ en $W$ tiene una inversa que está en $W$

$b$ . $b_{12} = 0$

$c$ . $b_{13} = 0$

$d$ . $b_{23} = 0$

Traté de tomar la matriz

$$ A = \begin{pmatrix} 1 & a & b \\\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$

y $$ B = \begin{pmatrix} d & e & f \\\ g & h & i \\ j & k & l \end{pmatrix} $$

Entonces, utilizando la relación $AB = BA$ , trató de resolver las ecuaciones pero no obtuvo nada útil.

¿Cómo puedo solucionar esto?

Answer 1

Para demostrar (a) basta con tomar una matriz arbitraria $$A=\begin{bmatrix}1&a&b\\0&1&c\\0&0&1\end{bmatrix}$$ de $W$ y calcular su inversa mediante el método clásico de eliminación de Gauss-Jordan (o cualquier otro método).

SPOILER:

La inversa de $A$ debe ser $$\begin{bmatrix}1&-a&-b+ca\\0&1&-c\\0&0&1\end{bmatrix}$$ que también está en $W$ .

Para demostrar (b)-(d) basta con elegir una matriz específica $A$ de $W$ y comparar las entradas de $AB$ y $BA$ .

SPOILER:

Prueba con $$A:=\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}.$$