Para una matriz defectuosa $B$ , hacer $B$ y $B^*$ tienen los mismos valores propios?

Question

De la definición de matriz normal, $AA^*=A^*A$ sabemos que $A$ y $A^*$ comparten los mismos vectores propios, pero mi pregunta es si la matriz defectuosa $B$ y su transposición conjugada $B^*$ también tienen los mismos vectores propios, aunque sus vectores propios no son completos. Si no es así, ¿existe una relación sencilla entre los vectores propios de $B$ y $B^*$ ?

Answer 1

Prueba con $B = \pmatrix{0 & 1\cr 0 & 0\cr}$ . Hazlo y $B^*$ comparten un vector propio?

EDIT: La relación es la siguiente. Si $u$ es un vector propio de $B$ para el valor propio $\lambda$ y $v$ es un vector propio de $B^*$ para el valor propio $\mu$ et $\mu \ne \overline{\lambda}$ , entonces $v^* u = 0$ .