Por lo tanto, tengo que demostrar que $f_n(x)=\dfrac{1-(x/b)^n}{1+(a/x)^n}$ con $0<a<b$ y $x \in [a,b]$ es convergente puntualmente, pero no uniformemente. La convergencia puntual es bastante sencilla, obtengo $f_n(x) \to f(x)$ con:
$f(x) = \left\{ \begin{array}{llllllr} 1/2 &,& x=a \\ 1 &,& x \in (a,b) \\ 0 &,& x=b \end{array} \right.$
E intuitivamente, es bastante obvio, que la secuencia de funciones no es uniformemente convergente, pero no estoy muy seguro de cómo demostrarlo. Estoy pensando, que en realidad tengo que mostrarlo por definición, es decir:
$\exists \epsilon>0 \forall N \in \mathbb{N} \exists n \geq N \exists x \in [a,b]: n \geq N \Rightarrow \sup\{|f_n(x)-f(x)|\} \geq \epsilon$
Pero estoy bastante atascado, para ser sincero. ¿Alguien tiene una pista que pueda ponerme en marcha?
Se agradece mucho.
EDIT: En realidad, me acabo de dar cuenta de que puedo basarme en el hecho de que si una secuencia de funciones continuas converge uniformemente, convergerá a una función continua - ya que no lo hace, la convergencia no es uniforme. Eso debería servir, ¿no?
